Question

Aus einer dreieckigen metallplatte mit den seitenlängen a=140 cm; b=60 cm und c=120 cm soll ein Kreis ausgefräst werden. Sein Abstand vom Rand des Dreiecks soll mindestens 10 cm betragen.

wie groß kann der Kreis höchstens werden?

zeichne im Maßstab 1:10.

Answer 1

s = (a + b + c) / 2 = (140 + 60 + 120) / 2 = 160

r = √((s - a)·(s - b)·(s - c)/s) = √((160 - 140)·(160 - 60)·(160 - 120)/160) = 22.36067977

22.36067977 - 10 = 12.36

Der Kreis kann ca. 12.36 cm vom Radius haben.

Infos zum Inkreis unter https://de.wikipedia.org/wiki/Inkreis

Comments

Warum geteilt durch zwei und minus 10? Wieso die Wurzel? Und "kann ca."? Ist das mathematisch präzise?

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Ich kann dir das auch mathematisch präzise formulieren.

Der Kreis kann max. (10·√5 - 10) cm cm groß sein.

Um die Formeln zu verstehen bitte in dem Wikipedia Link nachschauen.

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ich hab nichts verstanden. Das liegt nicht an dir, nur an mir.ich muss es allerdings verstehen um es meinem Kind erklären zu können der in die 7.klasse geht. Deine Erklärung mag richtig sein aber zu schwer und in meinem Fall unverstandlich. Trotzdem danke.

Answer 2

Vielleicht hilft folgende (nicht maßstabsgerechte) Skizze weiter:

Zunächst: Wenn dies eine Aufgabe aus der 7.Klasse ist, dann vermute ich, dass der Schüler den gesuchten Radius nicht exakt berechnen soll, sondern dass er "lediglich" erkennen soll, dass der größte ausfräsbare Kreis denselben Mittelpunkt wie der Inkreis haben muss. Dann soll der Schüler eine entsprechende, maßstabsgetreue Skizze anfertigen (ähnlich meiner Skizze) und daraus den maximalen Radius des auszufräsenden Kreises abmessen.

Wenn allerdings eine exakte Berechung erforderlich ist, dann muss man zunächst den Radius des Inkreises aus den angegebenen Seitenlängen ermitteln. Subtrahiert man dann von diesem Radius 10 cm, so erhält man den unter den angegebenen Bedingungen maximalen Radius des auszfräsenden Kreises.

Für den Inkreisradius r_inkreis gibt es folgende Formel:

r_inkreis = 2 A / u

wobei A der Flächeninhalt und u der Umfang des Dreiecks ist.

Der Umfang u des Dreiecks ist leicht berechnet:

u = a + b + c = 140 + 60 + 120 = 320

Etwas schwieriger (weil aufwändiger) ist die Berechnung des Flächeninhaltes A des Dreiecks aus dessen Seitenlängen. Dafür gibt es mehrere Formeln, etwa die Heronsche Flächenformel, die Der_Mathecoach verwendet hat. Ich finde diese Formel etwas zu umständlich und bevorzuge folgende Formel:

16 A ² = ( a ² + b ² + c ² ) ² - 2 ( a ⁴ + b ⁴ + c ⁴ )

(bei der allerdings recht große Zahlen als Zwischenergebnisse entstehen können. Dies kann man vermeiden, indem man z.B. in Metern statt in Zentimetern rechnet).

Durch Umformung ergibt sich daraus:

A ² = ( ( a ² + b ² + c ² ) ² - 2 ( a ⁴ + b ⁴ + c ⁴ ) ) / 16

A = √  ( ( ( a ² + b ² + c ² ) ² - 2 ( a ⁴ + b ⁴ + c ⁴ ) ) / 16 )

Setzt man hier nun für a, b und c die angegebenen Werte ein, erhält man:

A = √ ( ( ( 140 ² + 60 ² + 120 ² ) ² - 2 ( 140 ⁴ + 60 ⁴ + 120 ⁴ ) ) / 16 )

= √ ( ( 1413760000 - 1208960000 ) / 16 )

= √ ( 204800000 / 16 )

= √ ( 12800000 )

und damit kann man nun den Inkreisradius nach der oben angegebenen Formel berechnen:

r_inkreis = 2 A / u

= 2 * √ ( 12800000 ) / 320

= √ ( 12800000 ) / 160

= √ ( 12800000 / 160 ² )

= √ ( 500 )

=  √ ( 100 * 5 )

= 10 * √ ( 5 )

≈ 22,36 cm (gerundet)

Der Radius r_K des auszufräsenden Kreises darf also höchstens:

r_K = 10 * √ ( 5 ) - 10 cm ≈ 12,36 cm

betragen.

 

Schlussbemerkung:

Angesichts dieser schönen "glatten" Zahlen, die sich hier ergeben,
z.B. A = √ ( 12800000 ) oder r_Inkreis = √ ( 500 ), könnte man auf die Idee kommen, dass meine eingangs geäußerte Vermutung doch nicht richtig ist, dass also der Schüler hier doch exakt rechnen soll ...