Zeige, dass folgende Gleichung für die Kardinalität von G gilt:

Question

Es sei G eine endliche abelsche Gruppe und H ⊂ G eine Untergruppe. Zeige, dass folgende Gleichung für die Kardinalität von G gilt:
                                                                            |G| = |G/H| · |H|.

b) Es seien G und H endliche Gruppen mit teilerfremder Kardinalität. Ausserdem sei G abelsch. Zeige, dass es genau einen Gruppenhomomorphismus von G nach H gibt.
Hinweis: verwende Teil a) und den Homomorphiesatz.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Es sei G eine endliche abelsche Gruppe und H ⊂ G eine Untergruppe....

Stichworte: untergruppe,kardinalität,homomorphismus

Aufgabe:

a) Es sei \( G \) eine endliche abelsche Gruppe und \( H \subset G \) eine Untergruppe. Zeige, dass folgende Gleichung für die Kardinalität von \( G \) gilt:

\( |G|=|G / H| \cdot|H| \)

b) Es seien \( G \) und \( H \) endliche Gruppen mit teilerfremder Kardinalität. Ausserdem sei \( G \) abelsch. Zeige, dass es genau einen Gruppenhomomorphismus von \( G \) nach \( H \) gibt.

Hinweis: verwende Teil a) und den Homomorphiesatz.

Answer 1

Ein Beweis der a) findet sich z.B. hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Lagrange