Steckbriefaufgaben - Parabel 4ter Ordnung

Question

Eine Parabel 4. Ordnung hat im Ursprung und im Wendepunkt \( \mathrm{P}(-2 ; 2) \) Tangenten parallel zur \( x \)-Achse.

Ansatz:

f(-2)=2

f''(-2)=0

f'(-2)=0

f'(0)=0

16a-8b+4c=2

48a-12b-4c=0

-32a+12b-4c=0

richtig?

Answer 1

Hi,

eine Parabel vierter Ordnung braucht 5 Gleichungen. Folgt ja der Form f(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

Das hast Du ja bereits richtig erkannt. Die zweite Gleichung muss allerdings lauten:

48a-12b+2c = 0

 

Insgesamt also:

16a - 8b + 4c  = 2

48a - 12b + 2c = 0

-32a + 12b - 4c = 0

 

Das führt auf:

f(x) = 0,375*x^4+2x^3+3x^2

 

Grüße

Answer 2

f(-2)=2

f''(-2)=0

f'(-2)=0

f'(0)=0

Das war fast richtig.

Da eine Tangente am Graph im Ursprung existiert, muss f(0) = 0 gelten

Polynom 4. Grade schreibt man allgemein f(x) = a*x⁴ + b*x³ + c*x² + d*x + e

f'(x) = 4*a*x³ + 3*b*x² + 2*c*x + d

f''(x) = 12*a*x² + 6*b*x + 2*c 

Mit f(0) = 0 folgt  f(0) =  a*0⁴ + b*0³ + c*0² + d*0 + e = 0 -> e = 0

Mit f(-2) = 2 folgt  f(-2) =  a*(-2)⁴ + b*(-2)³ + c*(-2)² + d*(-2) + e = 2 ->  16*a  - 8*b + 4*c - 2*d + e = 2 (Gl. 1)

Mit f'(0) = 0 folgt f'(0) = 4*a*0³ + 3*b*0² + 2*c*0 + d = 0 -> d = 0

Mit f'(-2) = 0 folgt f'(0) = 4*a*(-2)³ + 3*b*(-2)² + 2*c*(-2) + d = 0 -> -32*a + 12*b - 4*c + d = 0 (Gl. 2)

Mit f''(-2) = 0 folgt f''(0) = 12*a*(-2)² + 6*b*(-2) + 2*c = 0 -> 48*a - 12*b + 2*c = 0 (Gl. 3)

Mit d = e = 0  folgt für

Gl. 1: 16*a  - 8*b + 4*c - 2*0 + 0 = 2 -> 16*a  - 8*b  + 4*c = 2  (Gl. 1')

Gl. 2: -32*a + 12*b - 4*c + 0 = 0 -> -32*a + 12*b - 4*c = 0 (Gl. 2')

Gl 1' + Gl 2' -> -16*a + 4*b = 2 -> b = (2 + 16*a)/4

Gl 3 + Gl 2' -> 16*a -2*c = 0 -> c = 8*a

-> b = (2 + 16*a)/4 und c = 8*a in Gl 1:   16*a  - 8*(2 + 16*a)/4 + 4*8*a = 2 <> 16*a - 4 - 32*a +32*a = 2 -> a = 0,375

-> c = 3 und b = 2 -> f(x) = 0,375*x⁴ + 2*x³ + 3*x²

Answer 3

Eine Parabel 4. Ordnung hat im Ursprung und im Wendepunkt \( \mathrm{P}(-2 | 2) \) Tangenten parallel zur \( x \)-Achse.

Wendepunkt \( \mathrm{P}(-2 | \red{2}) \)→Wendepunkt \( \mathrm{P´}(-2 | 0) \):       Dreifachnullstelle

Ursprung \(U(0|0)\)  →Ursprung \(U´(0|-2)\)

\(f(x)=a(x+2)^3(x-N)\)

\(U´(0|-2)\):

\(f(0)=a(0+2)^3(0-N)=-8aN\)

\(-8aN=-2\)  →  \(a=\frac{1}{4N}\)

\(f(x)=\frac{1}{4N}[(x+2)^3(x-N)]\)

waagerechte Tangente im Ursprung:

\(f´(x)=\frac{1}{4N}[3(x+2)^2(x-N)+(x+2)^3]\)

\(f´(0)=\frac{1}{4N}[3(0+2)^2(0-N)+(0+2)^3]\)

\(\frac{1}{4N}[-12N+8]=0\)      →    \(N=\frac{2}{3}\)       \(a=\frac{1}{4 \cdot \frac{2}{3}}=\frac{3}{8}\)

\(f(x)=\frac{3}{8}(x+2)^3 (x-\frac{2}{3})\)

\(p(x)=\frac{3}{8}(x+2)^3(x-\frac{2}{3})+\red{2}\)