Ermittle eine Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt M, der die Gerade g berührt.

Question

Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt M soll die Gerade g berühren.

M=(0|5), g: 5x+3y= -19

Comments

bei folgender Aufgabe weiß ich nicht mehr weiter.. Könnt ihr mir bitte helfen?  6.09

Answer 1

Ich beschreibe dir den Lösungsweg erst einmal in Worten.
Falls dieser nicht klar ist stelle ich eine Skizze hier ein.

Durch das Koordinatensystem zieht sich eine Gerade
5 * x + 3 * y = -19
In der bekannteren Form lautet die Funktion
y = - 5/3 * x - 19/3
Dies ist eine Tangente an den Kreis.
t ( x ) =  - 5/3 * x - 19/3
Auf dieser Tangente stehen beliebige Normale.
( im Winkel 90 ° zur Tangente ).
Diese haben die Steigung :
m(n) = -1 / m(t)
m(n) = -1 / ( - 5/3)
m(n) = 3/5
Eine dieser Normalen geht durch den Mittelpunkt des
Kreises. Diese Normale hat die Funktion
n ( x ) = 3/5 * x + 5
( 5 als y-Achsenabschnitt, bekannt von M ( 0  | 5 ) )
Der Schnittpunkt von Tangente und Normale ist der
Berührpunkt des Kreises.
t ( x) = n ( x )
- 5/3 * x - 19/3 = 3/5 * x + 5
x = -5
Der dazugehörige Funktionswert ist
t ( -5 ) =  - 5/3 * (-5) - 19/3
t ( -5 ) = 2
Der Kreis besitzt den Punkt ( -5  | 2 ).
Allgemeine Kreisgleichung für den Kreis mit M im
Ursprung. Pythagoras :
r^2 = x^2 + y^2
y = √ ( r^2 - x^2 )
Da der Kreis den Mittelpunkt in M ( 0 | 5 ) hat ist es
ein in Richtung y-Achse um 5 Einheiten nach oben
verschobender Kreis mit der Gleichung
y = √ ( r^2 - x^2 ) + 5
( Nachtrag : die Gleichung beschreibt  nur den oberen
Teil des Kreises ). Für diesen Fall gilt :
y = 5 - √ ( r^2 - x^2 )
x = -5; y = 2
Damit kann r berechnet und die Gleichung aufgestellt
werden. r = √ 34.

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

Comments

Nachtrag : die Berechnung von r geht auch einfacher.
Abstand Kreismittelpunkt zum Schnittpunkt :

r = √ (  (delta y)^2 + (delta x)^2 )
r = √ (  (5-2)^2 + (0-(-5))^2 )
r = √ (  (3)^2 + (5))^2 )
r = √ ( 34 )

mfg Georg

Answer 2

am Beispiel a)

Kreisgleichung:   x² + (y-5)² = r²

Gerade:  5x + 3y = -19   ⇔  x = -19/5 - 3y/5

x in die Kreisgleichung einsetzen und umformen ergibt eine quadratische Gleichung

         y² + py + q = 0  mit dem Parameter r²

         y² - 4·y - (25·r²/34 - 29) = 0

                 p = - 4 , q = - (25·r²/34 - 29)

Bei der pq-Formel  y_1,2 = - p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\)

   y_1,2 =  2 ±  \(\sqrt{4 +(25·r²/34 - 29) }\)

muss der von r abhängige Term unter der Wurzel dann den Wert 0 haben, weil es nur eine Lösung (Berührpunkt!) gibt:

4 +(25·r²/34 - 29) = 0

Daraus ergibt sich r = √34 

Kreisgleichung:  x² + (y - 5)² = 34

Der Berührpunkt ergibt sich dann  mit y = 2  → x = -19/5 - 3*2/5 = -5 zu  B(- 5|  2 )

Gruß Wolfgang

Answer 3

hier eine gute Beschreibung des Vorgehens vom Moderator georgborn aus dem Jahr 2014

Comments

Hallo Oldie,
gerade habe ich eine Antwort formuliert und
sehe jetzt ich mich schon einmal daran
gearbeitet habe. Jo mei.

Answer 4

Die Geradengleichung wurde aufgestellt.
Die Normale n ( x ) dazu geht durch den Mittelpunkt
des Kreises.

Jetzt den Schnittpunkt S ( x | y ) von g und n berechnen.

Über den Pythagoras r^2 = Δ x^2 + Δ y^2 den Radius berechnen.

Allgemeine Kreisgleichung

r^2 = ( x - 0 ) ^2 + ( y - 5 ) ^2