Divergenz von Reihen: n=1∑∞ (an)/(1+n^2 *an), mit an>0 konvergent?

Question

.. und zwar soll ich folgende Aufgabe lösen :

Zeigen Sie folgende Aussage:
Für alle n ∈ N sei an > 0. Dann konvergiert die Reihe

 _n=1∑^∞      (an)/(1+n² *an)

 

komme da leider zu keiner Lösung

danke im voraus

mfg,

mike

Comments

DIe Reihe soll $$\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{1+n^2a_n}$$ sein? Da lässt sich eine schöne konvergente Majorante finden.

Answer 1

Hi,

das kann so nicht stimmen, außer es gibt noch Einschränkungen an die Folge \( a_n \) die Du nicht hingeschrieben hast. Nehme als Beispiel die Folge \( a_n=n^2 \) Dann gilt \( \frac{a_n}{1+n^2+a_n}=\frac{1}{ \frac{1}{n^2}+2 } \) und das ist keine Nullfolge. Damit konvergiert die Reihe nicht.

Comments

Wo siehst du das zweite Plus im nenner der Aufgabenstellung? Ich sehe da nur ein *, also so: $$\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{1+n^2a_n}$$ und die Reihe ist konvergent.

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Hi,

Brillenträger schauen manchmal nicht richtig hin, da hab ich mich vertan, danke für den Hinweis. Mit der Abschätzung \( \frac {1}{n^2} \) lässt sich die Konvergenz schnell zeigen.