Abstand Punkt zu Gerade

Question

Ein Schwimmer befindet sich am Punkt P(1;−3;4) und möchte zurück zum Ufer schwimmen.
Wie lang ist der kürzeste Weg zum Ufer, wenn es durch die Gerade G repräsentiert wird.

Gegeben: G:r(lamda) =(−1,2,−9)+ lamda(1, 2,3)

Answer 1

Hi,

ich habe da ein Problem mit der Aufgabe. Zu einen liegt der Punkt an dem sich der Schwimmer befindet liegt nicht auf der Geraden und ich erkenne keine Kriterium, wann das Ufer erreicht werden soll.

Comments

Die Gerade ist das Ufer. Wenn der Punkt bereits auf der Gerade läge, wäre der Schwimmer schon am Ufer.

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ich habe mich verschrieben die Gerade lautet G:r(lamda) =(−1,2, 9)+ lamda(1, 2,3)

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= -1*1 + 2*3 + 9*4 + lambda + 6*lambda + 12*lambda

= 41 + 19* lambda

lambda = 2,16

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Hi,

die Formel für den Abstand eines Punktes P von der Geraden g lautet, falls g die Darstellung \( g=x_0+\lambda r \) hat, wobei \(r\) der Richtungsvektor ist, \( x_0 \) ein Punkt auf der Geraden und \(P\) der Punkt, von dem der Abstand zur Geraden gemessen werden soll $$ < x_0+\lambda r-P,r>=0  $$ wobei die spitzen Klammern das Skalarprodukt für Vektoren bedeutet. Die Werte für \( x_0 \), \(r\) und \(P\) sind bekannt, man setzt sie ein und berechnet \(\lambda\) zu \( \frac{31}{14} \) Damit lässt sich der Abstand des Punktes \(P\) von der Geraden zu \(  \left| x_0+\lambda r-P \right| \) berechnnen, mit dem zuvor berechneten \(\lambda\) und man erhält 11.374

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Da Du Deine Werte geändert hast stimmt das Ergebnis nicht mehr aber der Weg.

Answer 2

Eine Idee: Der Abstand eines Punkts zu einer Geraden ist die Länge des Lotes. Berechne den Lotfußpunkt mittels Skalarprodukt: Gesucht ist das lambda mit $$< \begin{pmatrix} -1 +\lambda \\ 2 +2\lambda \\9 + 3\lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\3 \\4\end{pmatrix}>=0$$.