Welcher Gewinn kann maximal erzielt werden? Ein Monopolunternehmen bietet zwei Güter zu den Preisen p1 und p2 an

Question

Ein Monopolunternehmen bietet zwei Güter zu den Preisen p1 und p2 an. Die Nachfrage wird durch die Nachfragefunktionen
q1 = D1 ( p1 , p2 )=60-5 p1 +5 p2

q2 = D2 ( p1 , p2 )=143+3 p1 -5 p2

bestimmt. Die Herstellungskosten für die beiden Güter betragen 3 und 3 GE pro Stück.
Welcher Gewinn kann maximal erzielt werden?

 

Kann mir da wer helfen? Wie löse ich das?

Comments

Ein Monopolunternehmen bietet zwei Güter zu den Preisen p1 und p2 an. Die Nachfrage wird durch die Nachfragefunktionen

q1 = D1 ( p1 , p2 )=147-2 p1 +2 p2 q2 = D2 ( p1 , p2 )=130+2 p1 -5 p2

bestimmt. Die Herstellungskosten für die beiden Güter betragen 4 GE und 4 GE pro Stück. Welcher Gewinn kann maximal erzielt werden?

DANKE

Answer 1

Hier kannst du gleich vorgehen wie in:

https://www.mathelounge.de/11961/implizite-funktion-extremstellen-nachfragefunktionen-preise

Du kannst die Zahlen sicher anpassen.

Deine Gewinnfunktion ist

g(p1,p2) = p1(60-5 p1 +5 p2) + p2(143+3 p1 -5 p2) - 3 (p1 + p2) müsste (q1 + q2) heissen! Daher ist hier noch ein Fehler drinn. Resultat noch ohne angepassten Weg im Kommentar.

Korrigierte Version:

g(x,y) = x(60 - 5x + 5y) + y(143 + 3x - 5y) - 3(60 - 5x + 5y +143 + 3x - 5y) 

g(x,y) = -5x^2 + 8xy + 66x - 5y^2 + 143y - 609

∂_x g =  - 10x + 8y + 66 = 0        |*8
∂_y g =     8x  - 10y + 143 = 0

 - 80x + 64y + 528 = 0 
   80x  - 100y + 1430 = 0

---------------------------------+

           -36y + 1958 = 0

                y= 1958/36 = 979/18

1. Gleichung: 10x = 8y + 66 = 501.11111

               x= 50.1111111 = 451/9

g_MAX(451/9 , 979/18) = 178'085/36

Jetzt müsste man noch begründen, dass das ein Maximum und kein Minimum (auch keine 3-dim Terrasse) ist.

 

 

Ende.

 

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

Ich bin jetzt schon ein wenig weiter gekommen, aber jetzt häng ich an einer anderen Stelle:

Ich bin jetzt beim linearen Gleichungssystem:

10x+8y=-57

und

8x+10y=-140

Wie rechne ich da jetzt x und y aus? Ich komm einfach nicht drauf...

Wie geht es jetzt weiter? Im Link kürzt sich x weg, sodass man y leicht ausrechnen kann, aber bei meinen Zahlen geht das nicht??

---

10x+8y=-57           |*8

8x+10y=-140         |*10

-----------------------------

80x + 64y = - 456

80x + 100y = -1400

--------------------------- 2. minus erste gleichung

           36y =-944

y = - 26.222222 = -236/9

Einsetzen in die erste Gleichung

10x + 8*(-944/36) = - 57

10x = -57 + 8*(944/36)

10x = 152.77778

x= 15.277777 = 275/8

Wenn du da richtig gerechnet hast, liegt das Extremum ausserhalb der real möglichen Werte. y wäre negativ. Hast du gelernt, was man in solchen Fällen tun muss?

---

Nein, weiß ich leider nicht was man da dann machen muss.

Was muss man machen?

---

Du hattest oben einen Vorzeichenfehler drinn.

Ich hab inzwischen in der Antwort fertig gerechnet und mein Resultat überprüft bei

https://www.wolframalpha.com/input/?i=maximize+%28g%28x%2Cy%29+%3D+57x+-+5x%5E2+%2B+8xy+%2B+140y++-+5y%5E2%29%3B+57+++%3D+10x+-+8y++++%3B+140+%3D+-8x+%2B+10y++++++++++

 

Also

g(x,y) = x (60 - 5x + 5y ) + y (143  + 3x - 5 y) - 3(x+y)

g(x,y) = 60x - 5x^2 + 5xy + 143y + 3xy - 5y^2 - 3x - 3y

g(x,y) = 57x - 5x^2 + 8xy + 140y  - 5y^2

Jetzt Weg im Link befolgen und am Schluss  x und y noch in die Gewinnfunktion einsetzen um  den maximalen Gewinn zu berechnen.

∂_x g =57 - 10x + 8y = 0 
∂_y g = 8x + 140 - 10y = 0

57   = 10x - 8y                  |*8
140 = -8x + 10y                |*10

-------------------------------------

456 = 80x - 64y

1400 = -80x +  100y

------------------------------------ Addieren

1856 = 36y

y = 1856/36 = 51.555556

57   = 10x - 8*51.55556

57 + 412.44444 = 10x

469.44444 = 10x

46.94444=x 

g_max (46.9444/ 51.5556) = 4946.81 Geldeinheiten

---

Leider zeigt es mir diese Lösung aber als falsch an :(

---

Wer ist 'es'? Rechne nochmals alles (von Anfang an) nach. Hattest du alle Zahlen in der Fragestellung richtig abgeschrieben?

---

Ich muss das Ergebnis online abgeben und es wird immer gleich angezeigt ob es die richtige Lösung ist und da zeigts mir an, dass es nicht die richtige Lösung ist.

Die Angabge müsste passen, ich hab sie kopiert....

Ein Monopolunternehmen bietet zwei Güter zu den Preisen p1 und p2 an. Die Nachfrage wird durch die Nachfragefunktionen

q1 = D1 ( p1 , p2 )=60-5 p1 +5 p2

q2 = D2 ( p1 , p2 )=143+3 p1 -5 p2

bestimmt. Die Herstellungskosten für die beiden Güter betragen 3 und 3 GE pro Stück.
Welcher Gewinn kann maximal erzielt werden?

---

Wenn ich WolframAlpha nicht sage, dass ich diese Ableitungen mache, bekommen die dasselbe (vgl. Link). Müsst ihr irgendwie runden? Mathematisch wird mit beliebig genauen Zahlen gerechnet.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=maximize+%28g%28x%2Cy%29+%3D+x+%2860+-+5x+%2B+5y+%29+%2B+y+%28143++%2B+3x+-+5+y%29+-+3%28x%2By%29%29+

---

Wir dürfen nichts runden, muss alles ganz genau gerechnet werden mit jeder Kommastelle.

Muss ich mit den Herstellungskosten gar nix machen?

---

Das ist die Subtraktion: -3(x+y).

Wenn du nicht runden darfst: gib mal die exakten Werte (Bruch) gMAX = 178'085 / 36 im Resultat von WolphramAlpha ein.

---

Stop! Du musst wohl eher 3 (q1 + q2) einsetzen!

g(p1,p2) = p1(60-5 p1 +5 p2) + p2(143+3 p1 -5 p2) - 3 (60-5 p1 +5 p2 + 143+3 p1 -5 p2)

Somit

g(x,y) = x(60 - 5x + 5y) + y(143 + 3x - 5y) - 3(60 - 5x + 5y +143 + 3x - 5y) usw.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=maximize+%28g%28x%2Cy%29+%3D+x%2860+-+5x+%2B+5y%29+%2B+y%28143+%2B+3x+-+5y%29+-+3%2860+-+5x+%2B+5y+%2B143+%2B+3x+-+5y%29%29+

Liefert gMAX = 177605 / 36

bei x = 451/9 und y = 979/18

---

Jetzt stimmts!!!!

Vielen Dank für deine Hilfe!!!! :-D