Kettenregel: äußere und innere Funktion erkennen

Question

Y=5u^4 soll abgeleitet werden.

Ich habe mir folgende Definition als Hilfe notiert: f(g(x))
g(x) stellt ja die innere Funktion dar und f(g) die äußere.

Angewendet auf die Aufgabe hieße das doch:
g(u): 5u (innere Funktion)
und
f(g): g^4 (äußere Funktion)

Wenn ich die kettenregel anwende erhalte ich 5*(4g^3 )
Als Lösung also 20g^3
Laut Buch ist die Lösung 20u^3 , was aber doch nicht dasselbe ist...

Answer 1

Achtung: Potenzrechnung vor Strichrechnung!

Die Funktion

f ( u ) = 5 u ⁴

ist also zu zu interpretieren:

f ( u ) = 5 ( u ⁴ )

Damit ist

g ( u ) = u ⁴

und

h = 5 * g ( u )

Damit ergibt sich nach Kettenregel: :

f ' ( u ) = g ' ( u ) * h ' ( g ( u ) ) = 4 u ³ * 5  = 20 u ³

 

Anmerkung:

Es ist allerdings mit Kanonen auf Spatzen geschossen, die Funktion f ( u ) = 5 u ⁴ mit Hilfe der Kettenregel abzuleiten. Hier ist selbstverständlich die Potenzregel

f ( u ) = a * u ⁿ => f ' ( u ) = a * n * u ^{( n - 1 )} 

anzuwenden, woraus sich ebenfalls

f ' ( u ) = 5 * 4 * u  ³ = 20 u ³

ergibt.

Comments

Danke. Ich habe Probleme damit zu bestimmen was die äußere und was die innere Funktion ist. Gibt es eine Möglichkeit das leicht zu erkennen?

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Eine mathematisches Gesetz dafür gibt es nicht, und es gibt auch nicht immer nur genau eine mögliche Aufteilung, sondern manchmal auch mehrere.

Es erfordert einfach ein wenig Übung, eine sinnvolle Aufteilung zu erkennen.

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Also bei Aufgaben wie 1/ (x^2 + x + 1)^5

habe ich keine Probleme die innere und äußere Funktion zu bestimmen.

eine Aufgabe: berechnen sie mit Hilfe der kettenregel.

Y=-3(V+1)^5 und V=1/3 t^3

was sagt mir hier das V=1/3 t^3 denn?
Ist das schon meine innere bzw. äußere Funktion?

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Bei dieser Aufgabe ist die innere Funktion V und die äußere Funktion  Y bereits vorgegeben.

 

Die gesamte Funktion sieht so aus:

Y = - 3 * (  ( 1 / 3 ) t ³ + 1 ) ⁵

und die hätte man auch in die innere Funktion

W = ( 1 / 3 ) t ³ + 1

und die äußere Funktion

Y = - 3 * W ⁵

aufteilen können.

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Die innere Funktion: 1/3 t^3 ist einfach abgeleitet: t^2

aber wie Leite ich die äußere Funktion  Y=-3(V+1)^5 ab?

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Eben dieses Problem umgeht man, wenn man die Funktion so aufteilt, wie ich es vorgeschlagen habe.

Da man dies aber bei der vorliegenden Aufgabe gerade nicht tun soll ( aus diesem Grund ist V vorgegeben ) muss man

Y = - 3 ( V + 1 ) ⁵

eben auch noch einmal nach Kettenregel ableiten:

Die innere Funktion ist V + 1, also innere Ableitung = 1 und damit

Y ' = 1 * ( - 3 ) * 5 * ( V + 1 ) ⁴

= - 15 ( V + 1 ) ⁴

Dies muss nun noch mit der innern Ableitung von V, also mit t ² multipliziert werden:

Y ' = - 15 t ² ( V + 1 ) ⁴

Ersetzt man nun noch V durch ( 1 / 3 ) t ³ so erhält man als Ableitung:

Y ' = - 15 t ² ( ( 1 / 3 ) t ³ + 1 ) ⁴

 

Insgesamt soll bei dieser Aufgabe wohl gelernt werden, dass man die Kettenregel durchaus auch auf mehrere ineinander verschachtelte Funktionen anwenden kann:

Sei also etwa

f ( x ) = u ( v ( w ( x ) ) ) 

dann gilt:

f ' ( x ) = w ' ( x ) * v ' ( w  ) * u ' ( v )

Um dies noch einmal an deinem Beispiel zu erläutern:

Y = - 3 ( V + 1 ) ⁵ und V = 1/3 t ³

Y kann aufgefasst werden als:

Y = T ( U ( V (  t ) ) ) 

mit

V = 1/3 t ³

U ( V  ) = V + 1

und

T ( U ) = - 3 U ⁵

Die Ableitung ist dann: "innerste Ableitung mal nächstäußere Ableitung * ... *  äußerste Ableitung", also:

Y ' = V ' * U ' ( V ) * T ' ( U )

= t ² * 1 * ( - 3 ) * 5 * U ⁴

= - 15 t ² * U ⁴

mit U = V + 1:

= - 15 t ² * ( V + 1 ) ⁴

und mit V = ( 1 / 3 ) t ³

= - 15 t ² * ( ( 1 / 3 ) t ³ + 1 ) ⁴

Answer 2

Mit g(u)=5u und f(g)=g^4 ist f(g)(x)=f(g(x))=f(5x)=(5x)^4=625x^4. Die Aufgabe hat auch nichts mit der Kettenregel zu tun. Multipliaktive Faktoren bleiben beim differenzieren erhalten und die Ableitung von x^n ist hoffentlich bekannt.

Answer 3

Damit die Frage einen Sinn bekommt müßte es eigentlich heißen

Y ( u ) = (5u)⁴

Kettenregel

Y ´ ( u ) = 4 * ( 5u)^3 * 5
Y ´( u ) = 20 * (5u)^3

Äußere Funktion
(5u)^4
Ableitung
4 * ( 5u)^3
Innere Funktion
5u
Ableitung
5
Äußere Funktion * Innere Funktion
Y ´ ( u ) = 4 * ( 5u)^3 * 5

mfg Georg

Comments

Da aber als Lösung

f ' ( u  ) = 20 * u ³

herauskommen soll, wird wohl doch

f ( u ) = 5 * ( u ⁴ )

gemeint sein.

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@JotEs
die Angabe der Lösung hatte ich übersehen.
Ein schönes Beispiel für die Anwendung der
Kettenregel ist meine Rechnung aber allemal. Grins.

mfg Georg

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Die innere Funktion: 1/3 t3 ist einfach abgeleitet: t2

aber wie Leite ich die äußere Funktion  Y=-3(V+1)5 ab?