Skalarprodukt komplexer Zahlen

Question

Aufgabe:

Auch für komplexe Vektoren lässt sich ein Skalarprodukt definieren. Analog zu zwei reellwertigen Vektoren, denen durch das Skalarprodukt eine reelle Zahl zugeordnet wird, wird, wird zwei \( n \) -dimensionalen komplexwertigen Vektoren \( \vec{x}, \vec{y} \in \mathbf{C}^{n} \) durch das Skalarprodukt eine komplexe Zahl zugeordnet:

$$ \langle\vec{x}, \vec{y}\rangle=\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \overline{y_{i}} $$

Beachten Sie, dass jeweils die konjugiert komplexen Komponenten des Vektors \( \vec{y} \) verwendet werden! Über das Skalarprodukt kann nun wiederum die reellwertige Länge eines komplexen Vektors definiert werden:

$$ |\vec{x}|=\sqrt{\langle\vec{x}, \vec{x}\rangle} $$

Gegeben seien die folgenden zwei Vektoren im 2 -dimensionalen komplexen Vektorraum:

$$ \vec{x}=\left(\begin{array}{c} {1+\mathrm{i}} \\ {1-\mathrm{i}} \end{array}\right) \quad \text { und } \quad \vec{y}=\left(\begin{array}{c} {1-2 \mathrm{i}} \\ {2+4 \mathrm{i}} \end{array}\right) $$

(a) Bestimmen Sie die Länge der beiden Vektoren.

(b) Bestimmen Sie \( \langle\vec{x}, \vec{y}\rangle \) und \( \overline{\langle\vec{y}, \vec{x}\rangle} . \) Was fällt Ihnen auf? Hinweis: Im zweiten Fall müssen Sie vom Skalarprodukt \( \langle\vec{y}, \vec{x}\rangle \) das konjugiert Komplexe bilden.

Ich würde wie einen normalen Vektor: Wurzel aus den oberen Wert zum Quadrat + den unteren Wert zum Quadrat rechnen. i²=-1 Für die Unterstützung vergebe ich einen Punkt bzw. einen Stern!

Lösungsvorschläge zu a) und b):

\( \vec{x}=\left(\begin{array}{c}{1+i} \\ {1-i}\end{array}\right) \)
\( |\vec{x}|=\sqrt{(1+i)^{2}+(1-i)^{2}} \)
\( |\vec{x}|=\sqrt{1+(-1)+1-(-1)} \)
\( |\vec{x}|=\sqrt{0}=0 \)

\( \vec{y}=\left(\begin{array}{c}{1-2 i} \\ {2+4 i}\end{array}\right) \)
\( |\vec{y}|=\sqrt{(1-2 i)^{2}+(2+4 i)^{2}} \)
\( |\vec{y}|=\sqrt{1-2^{*}(-1)+2+4^{*}(-1)} \)
\( |\vec{y}|=\sqrt{1}=1 \)

\( \frac{\vec{x}}{\vec{y}}=\frac{\left(\begin{array}{c}{1+i} \\ {1-i}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}{1-2 i} \\ {2+4 i}\end{array}\right)} * \frac{\left(\begin{array}{c}{1+2 i} \\ {2-4 i}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}{1+2 i} \\ {2-4 i}\end{array}\right)}=\frac{\left(\begin{array}{c}{1+2 i} \\ {2-4 i}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}{1-4 i^{2}} \\ {4-8 i}\end{array}\right)}+\frac{\left(\begin{array}{c}{i+2 i^{2}} \\ {-2 i+4 i^{2}}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{cc}{-2i-4 i^{2}} \\ {8i-16i^{2}}\end{array}\right)} \)

\( \frac{\vec{y}}{\vec{x}}=\frac{\left(\begin{array}{c}{1-2 i} \\ {2+4 i}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}{1+i} \\ {1-i}\end{array}\right)}+\frac{\left(\begin{array}{cc}{1-i} \\ {1+i}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{cc}{1-i} \\ {1+i}\end{array}\right)}=\frac{\left(\begin{array}{cc}{1-i} \\ {2-2 i}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{cc}{1-i} \\ {1+i}\end{array}\right)}+\frac{\left(\begin{array}{c}{-2 i+2 i^{2}} \\ {4 i+4 i^{2}}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{cc}{i-i^{2}} \\ {-i-i^{2}}\end{array}\right)}= \)

Answer 1

Ich würde wie einen normalen Vektor: Wurzel aus den oberen Wert zum Quadrat + den unteren Wert zum Quadrat rechnen.

Nun, dann hast du offenbar die Aufgabe nicht richtig gelesen, denn dies entspricht nicht der angegebenen Definition des komplexen Skalarproduktes, welche durch den Hinweis:
Beachten Sie, dass jeweils die konjugiert komplexen Komponenten des Vektors y verwendet werden!
noch einmal ausdrücklich erläutert wird.

Richtig ist:

$$\left| \vec { x }  \right| =\sqrt { \left< \vec { x } ,\vec { x }  \right>  }=\sqrt { \sum _{ i=1 }^{ n }{ { x }_{ i } } \overline { { x }_{ i } }  }$$

Damit ergibt sich:

a)

$$\vec { x } =\begin{pmatrix} 1+i \\ 1-i \end{pmatrix}$$$$\Rightarrow$$$$\left| \vec { x }  \right| =\sqrt { \sum _{ i=1 }^{ 2 }{ { x }_{ i } } \overline { { x }_{ i } }  }$$$$=\sqrt { (1+i)*(1-i)+(1-i)(1+i) }$$$$=\sqrt { 2*(1-{ i }^{ 2 }) }$$$$=\sqrt { 2*2 }$$$$=2$$

bzw.

$$\vec { y } =\begin{pmatrix} 1-2i \\ 2+4i \end{pmatrix}$$$$\Rightarrow$$$$\left| \vec { y }  \right| =\sqrt { \sum _{ i=1 }^{ 2 }{ { y }_{ i } } \overline { y_{ i } }  }$$$$=\sqrt { (1-2i)*(1+2i)+(2+4i)(2-4i) }$$$$=\sqrt { 5+20 }$$$$=5$$

b)

$$\left< \vec { x } ,\vec { y }  \right> =\sum _{ i=1 }^{ n }{ { x }_{ i } } \overline { { y }_{ i } }$$$$=(1+i)(1+2i)+(1-i)(2-4i)$$$$=1+2i+i-2+2-4i-2i-4$$$$=-3-3i$$

bzw.

$$\overline { \left< \vec { y } ,\vec { x }  \right>  } =\overline { \sum _{ i=1 }^{ n }{ { y }_{ i } } \overline { x_{ i } }  }$$$$=\overline { (1-2i)(1-i)+(2+4i)(1+i) }$$$$=\overline { 1-i-2i-2+2+2i+4i-4 }$$$$=\overline { -3+3i }$$$$=-3-3i$$

Offensichtlich sind beide Werte gleich. Es gilt also möglicherweise für alle komplexwertigen Vektoren x, y:

$$\left< \vec { x } ,\vec { y }  \right> =\overline { \left< \vec { y } ,\vec { x }  \right>  }$$

was allerdings noch zu beweisen wäre.