Niveaulinien skizzieren f(x,y)=c [c=0, c=1, c=-1]

Question

 

ein weiteres brandneues Aufgabenthema ist gegeben und zwar über Niveaulinien: 

Skizzieren Sie die Niveaulinien \( f(x, y)=c \) der folgenden Funktionen für \( c=-1, c=0 \) und \( c=1 \)

(Bsp) \( f(x, y)=y-3 x \)

(a) \( \quad f(x, y)=y-x \)

(b) \( \quad f(x, y)=y / x \)

(c) \( \quad f(x, y)=x y \)

(d) \( \quad f(x, y)=2 x \mathrm{e}^{-y} \)

Tipp: \( \ln (2) \approx 0,7 \)

Ich habe herausgefunden, dass man mit Niveaulinien Höhenunterschiede graphisch veranschaulichen kann wie z.B. Berghöhen. Man zeichnet zuerst ein Koordinatensystem. Bei a) ist der Abschnitt y-x die Funktion c.

Das würde bedeuten:

f(x,y)=c
f(x,y)=y-x
f₀(x,y)=0-0
f₁(x,y)=1-1=0
f_(-1)(x,y)=(-1)-(-1)=2

Jetzt kommt der Zirkel zum Einsatz und man würde für c=-1 im Koordinatensystem den Zirkel auf 2cm Radius einstellen und den Kreis vom Koordinatenursprung zeichnen.

Ist das richtig?

  

Comments

Ich habe mal a) bei GeoGebra eingeben und festgestellt, dass meine Annahme falsch war. Denn die Funktion wäre c:x²+y² gewesen... Ich habe bei a) lineare Funktionen herausbekommen. Ich werde nachher nach dem Abendessen die Skizzen uploaden und dann könnt ihr überprüfen, ob alles richtig ist.

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Hier sind die Skizzen von a):

a)
c=0

a)
c=1

a)
c=-1

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Hier sind die Skizzen von c):

c)
c=1

c)
c=-1

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Hier ist die Skizze von d):

d)
c=1

 

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Wie löst man b)? Ich habe versucht y/x bei Geogebra einzugeben, aber ich erhalte keine Lösung. Aufgabe d) scheint auch falsch zu sein. Was muss ich beachten?

Answer 1

a) Dein Versuch stimmt bei den roten Zahlen nicht, da c gegeben ist und nicht x und y:

f(x,y)=c 
f(x,y)=y-x 
f₀(x,y)=0-0 
f₁(x,y)=1-1=0 
f_(-1)(x,y)=(-1)-(-1)=2 

c=0 heisst y-x = 0 |umformen nach y ===> y = x ist die erste Gerade, die du angegeben hast.

c=1 heisst y-x = 1 ===> y = 1+x

c = -1 heisst y-x = -1 ==> y = x-1 

==> Deine Skizzen zu a) sind ok.

b) f(x,y) = y/x

c=0

0 = y/x 

==> y = 0, x beliebig ≠0 

==> x-Achse ohne Koordinatenurspung.

c=1

1 = y/x

x = y

==> Gerade durch den Ursprung mit Steigung 1. Also 45° Steigung.

c=-1

-1 = y/x

-x = y

==> Gerade durch den Ursprung mit Steigung -1. Also 45° Gefälle.

Bei c) fehlt dir der Fall c=0

0 = x*y ==> x oder y oder beide sind 0.

Beide Koordinatenachsen inkl. Koordinatenurspung.

d) f(x,y) = 2x*e^{-y}

c=0

2x = 0 oder e^{-y}=0 (das Zweite kann nicht sein)

==> y-Achse.

c=1

1 = 2x*e^{-y}        |*e^y

e^y = 2x            |ln

y = ln(2x) = ln(2) + ln(x) = 0.7 + ln(x)

Verschiebe die Kurve y = ln(x) um 0.7 Einheiten nach oben.

 

c=-1

-1 = 2x*e^{-y}        |*e^y

e^y = -2x            |ln

y = ln(-2x) = ln(-2) + ln(x) = -0.7 + ln(x)

Verschiebe die Kurve y = ln(x) um 0.7 Einheiten nach unten.

Comments

Okay, stimmt, man muss die Gleichung nach y umstellen. Es hat sich etwas überschnitten, aber ich hätte es nicht richtig umgestellt.

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c=0, kann man nicht skizzieren 

Wie meinst du das?

Ich hab dir doch geschrieben, was das ist. Du kannst doch problemlos die x-Achse und/oder die y-Achse anmalen.

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Es hat sich schon erledigt. Ich habe nicht gesehen, dass du während ich geschrieben habe, etwas gepostet hast. Ich habe die Gleichung bei Geogebra eingeben und keine Funktion erhalten, deshalb habe ich geschrieben dass man c=0 nicht skizzieren kann. Ich werde mir nochmals jeden Schritt ansehen und die Funktionen bei Geogebra eingeben.