Konvergenz der Folge an= 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n) zeigen

Question

Ich soll zeigen, ob die Folge (a_n)_n∈ℕ  mit a_n= 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n) konvergiert.

Muss ich hier ein n aumultiplizieren, oder wie mach ich das hier?

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aus Duplikat:

Ist die Folge (a_{n}) mit n∈ℕ mit $$a_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}$$ konvergent? Im ersten Moment habe ich an die harmonische Reihe gedacht, nach ausprobieren im Taschenrechner stelle ich aber fest, dass die Folge konvergiert. Meine Idee: Monotonie und Beschränktheit zeigen. Monotonie ist ja offensichtlich, die Folgenglieder werden auch nie größer als beispielsweise 1, aber wie könnte ich das zeigen, oder habt ihr eine bessere Vorgehensweise?

Answer 1

Die Folge ist durch 1/2 und 1 beschränkt und wachsend.

Comments

Auf die Ungleichungen komme ich:

1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n)
> 1/(2n) + 1/(2n) + … + 1/(2n) = n*1/2n = 1/2
und

1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n) < 1/n + 1/n + 1/n +..... + 1/n = n*1/n = 1

Wie begründest du, dass sie monoton wächst?

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$$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{n+1}>\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+1}=0$$

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wieso ist das oben >? also beim beweis der schranke -1/2? WIe kann der linkere Teil größer sein?

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Bei dem einen Summanden wird der Nenner größer gemacht, daher wird der Ausdruck kleiner.