Beweis(Vollständige Induktion): n³-n ist durch 6 teilbar

Question

 

ich muss beweisen, dass n³-n durch 6 teilbar ist

Wir sollten dabei für n k und (k+1) einsetzen.

Soweit komme ich:

(k+1)³-(k+1)

=k³+3k²+3k+1-(k+1)

=k3+3k²+3k+1-k-1

=k³+3k²+2k

=k³-k+3k²+3k

k³-k ist durch 6 teilbar, aber ich weiß nicht was ich mit 3k²+3k machen soll.

Comments

Hast du bei den ähnlichen Fragen

https://www.mathelounge.de/23812/vollstandige-induktion-n-3-5n-stets-durch-6-teilbar

gesehen?
n^3 - n + 6n = n^3 + 5n

---

Naja, das ist ja nicht der gleiche Term... heißt es, dass n³-n demnach falsch ist? (für die Teilbarkeit durch 6)

---

Nein,  6n ist durch 6 teilbar und wenn sich die beiden Terme durch 6n unterscheiden und einer durch 6 teilbar ist, muss der andere auch durch 6 teilbar sein.

---

Ich kann gerade nicht folgen; in meinem Lösungsweg kommt doch gar nicht 6n vor?

---

Mister hat dir ja deinen Weg fertig gerechnet.

Answer 1

du musst noch zeigen, dass

\( 3 k^2 + 3 k \)

durch \( 6 \) teilbar ist, beziehungsweise, dass

\( k^2 + k = k(k+1) \)

durch \( 2 \) teilbar ist. Dies ist trivialerweise erfüllt, da von zwei aufeinanderfolgenden Zahlen immer wenigstens eine durch \( 2 \) teilbar ist.

MfG

Mister

Comments

Hallo Mister, bin je22 hab mir nur ein Account erstellt :).

Danke für deine Antwort erstmal, ich verstehe aber trotzdem nicht, warum k²+k bzw  k(k+1) durch 2 teilbar ist.

Du hast  ja gesagt, dass von zwei aufeinanderfolgende Zahlen immer wenigstens eine durch 2 teilbar ist. Wie ist dies aber zu beweisen? Ich kann das leider nicht nachvollziehenk

MfG

---

am besten, du klickst auf "das habe ich geschrieben" oder so ähnlich, falls dir oben bei der Frage ein entsprechender Button angezeigt wird.

Dass \( k (k+1) \) durch \( 2 \) teilbar ist, ist doch logisch. Sei \( k \) nicht durch \( 2 \) teilbar. Dann ist \( k+1 \) (und schließlich auch \( k (k+1) \)) durch \( 2 \) teilbar. Sei umgekehrt \( k \) durch \( 2 \) teilbar, dann ist \( k (k+1) \) durch \( 2 \) teilbar.

Es ist eigentlich ziemlich trivial.

MfG

Mister

---

Habs jetzt verstanden :D

MfG