Question

Betrachten Sie die folgende rekursive Vorschrift für eine Zahlenfolge X_n:

                                              X_n = 3 * X_n-1+X_n-3
                                   mit     X₀ = 0,  X₁ = 1,  X₂ = 2
Überlegen Sie sich, wie man die Zahlenfolge iterativ, also ganz ohne Rekursionen, berechnen kann.

Hätte jemand einen Ansatz?

Answer 1

Erst dachte ich: nur eine primitive Iteration wie im Bild:

ABER dann fand ich, dass diese Zahlenfolge identisch ist zu

A052541(n) - A051541(n-1)

mit der expliziten Formel  A052541(n) = 3^n*hyg3F2(1/3-n/3,2/3-n/3,-n/3,1/2-n/2,-n/2,-1/4)

kann jeder beliebige reelle Wert berechnet werden

siehe Umkehrfunktionen Rechner mit hypergeometrischen Funktionen  http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

A052541(1/2)= 1.8169008062911036734412566...

Man könnte sogar den stufenlosen Funktionsverlauf zeichnen...

Comments

Habe die Funktion A052541(x) nun mit eingebaut:

A052541(0.5)=1.651308909499961749405936937764291  - A052541(-0.5)=0.532027546604459856903088763183266

A183188(0.5)=1.651308909499961749405936937764291-0.532027546604459856903088763183266

=1.119281362895501892502848174581...

(d.h. der obige wert 1.816.. war falsch!!!  - einfach zu viele Parameter; PC ist doch sicherer)

Der Funktionsverlauf ist schön glatt!!

---

Hier nun der Funktionsverlauf für A183188(x)

Achtung: A183188(0)=1, also um 1 verschoben, d.h. A183188(n) =aB[n+1] = aC[n+1]