Die Zahlenfolge x1,x2,x3,... ist durch x1=1 und die rekursive Vorschrift:

Question

wer kann mir diese Frage beantworten

Die Zahlenfolge x1,x2,x3,... ist durch x1=1 und die rekursive Vorschrift:

x(k+1)=x(k)+y(k) für k=1,2,... gegeben, wobei yk die letzte Ziffer der Dezimaldarstellung von xk bezeichnet. Man beweise, dass die Zahlenfolge x1,x2,x3 alle Potenzen von 4 enthält, dass also für jede positive ganze Zahl n ein Index k mit x(k)=4^n existiert. 

Mein Ansatz beschränkt sich darauf dass man vollständige Induktion verwenden soll.  

Danke für eure Mühe 

Comments

Zum Ansatz: Hast du denn schon ein paar Folgenglieder ausgerechnet? Manchmal kommt beim Rechnen schon eine Beweisidee. 

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Ja. 1,2,4,8,16,22,24,28,... Wie Soll ich das mit Induktion beweisen?

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1,2,4,8,16,22,24,28,36,42,44,48,56,62,64,68,76,82,84,88,96,...

4^0 und 4^1, 4^2, 4^3,  als Verankerung hast du ja bereits. 

Welche Schlussziffern kann denn 4^n haben? Gerade ist klar. Aber gibt es Einschränkungen? 

Ind. voraussetzung 4^n ist dabei.

Ind. behauptung 4^{n+1} ist dabei. 

Es sollte sich einfach begründen lassen, das ab 2 immer jede 20. Zahl mit dabei ist. Das ist aber noch nicht der nun zu zeigende Induktionsschritt. 

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Als Schlusstagen kommt nur 4, 6 infrage. 

Für den Beweis mit vollständiger Induktion bräuchte ich noch einen Tipp. :-)

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Beachte: Kann sein, dass du das Folgende gar nicht unbedingt brauchst, um die Induktionsbehauptung zu zeigen. 

Kannst du irgendwie begründen, dass 4 auf eine gerade und 6 auf eine ungerade Ziffer folgen muss? 

Bisher hast du wohl: 

n gerade (n≠0):  4^n endet auf 6

n ungerade: 4^n endet auf 4

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Ich weiß nicht wie ich den induktionsbeweis hinkriegen soll. Ich hab mir auch schon Fallbeispiele im Internet angeguckt. Ich kann das aber nicht übertragen. 

Ich träume schon immer davon. :-)

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4^2 16

4^3 64

4^4 256

4^5 1024

Kannst du mir sagen wie ich das formal und allgemein aufschreiben soll

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@Lu bist du noch da? Kannst du mir noch einen Tipp geben?  Das wäre echt nett:-)