Wie Basis und Kern einer Matrix mit zugehöriger Abbildung bestimmen?

Question

Sei A die Matrix

\( A = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \)

Die lineare Abbildung dazu ist φ : R^3 → R^2

Bestimme eine Basis von ker(φ) sowie eine Basis von φ(R^3).

Ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht voran.

Answer 1

ker(φ) ist die Menge aller Vektoren, die auf 0 abgebildet wird. Du erhältst eine Basis, wenn du A mit dem Gaußalgorithmus in Stufennormalform bringst.

φ(ℝ³) oder auch im(φ) ist das Bild von φ, also die Menge aller Vektoren, die φ annehmen kann. Du erhältst eine Basis, indem du A^T mit dem Gaußalgorithmus in Stufennormalform bringst und als Basisvektoren alle Zeilen nimmst, die keine Nullzeilen geworden sind.

1.) ker(φ):

$$ \left( \begin{array} { c c c } 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c c } { 8 } & { 10 } & { 12 } \\ { 7 } & { 8 } & { 9 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } \\ { 7 } & { 8 } & { 9 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 2 } & { 3 } \\ { 0 } & { - 6 } & { - 12 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 2 } & 3 \\ { 0 } & { 1 } & 2 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 2 } \end{array} \right) $$

Jedes Element v=(x, y, z) aus ker(φ) muss also die folgenden Bedingungen erfüllen:

x - z = 0
y + 2z = 0

Damit erhält man eine Basis zu:

B = {(1, -2, 1)}

2.) im(φ):

$$ A ^ { T } = \left( \begin{array} { l l } { 4 } & { 7 } \\ { 5 } & { 8 } \\ { 6 } & { 9 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c } { 6 } & { 9 } \\ { 5 } & { 8 } \\ { 4 } & { 7 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { 5 } & { 8 } \\ { 4 } & { 7 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 3 } \\ { 0 } & { 3 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) $$

Eine Basis des Bildes ist also:

C = {(1, 0), (0, 1)}

Mit anderen Worten: Das Bild ist der ganze ℝ².