Gleichungssystem über Z/2Z lösen?

Question

hallo an alle,

ich soll ein Gleichungssystem über Z/2Z und Z/7Z lösen.Was bedeutet Z/2Z?

Be

LG,Dkoto

Comments

Vermute, dass du modulo 2 und modulo 7 rechnen musst.

Ähnlich wie in Frage: https://www.mathelounge.de/12565/ist-die-matrix-invertierbar-in-z-3z-also-modulo-3

Answer 1

\( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) und \( \mathbb{Z}/7\mathbb{Z} \) sind bestimmte Körper, nämlich jene mit \( 2 \) oder \( 7 \) Elementen. Gleichungssysteme in diesen Körpern suchen nach Lösungen in diesen Körpern.

Beispielsweise ist

\( x + y = 0 \)

\( x * y = 1 \)

ein nicht-lineares Gleichungssystem in \( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) mit der (eindeutigen) Lösung \( (x, y) = (1, 1) \).

Ein weiteres Beispiel ist

\( 4x + 3y + 2z = 4 \),

\( x + y + z = 4 \)

\( 2x + y + 2z = 0 \),

was ein lineares Gleichungssystem in \( \mathbb{Z}/7\mathbb{Z} \) ist. Die eindeutige Lösung ist \( (x, y, z) = (1, 1, 2) \). Die Eindeutigkeit ist jedoch nicht immer gegeben, sondern an bestimmte Bedingungen geknüpft.

MfG

Mister

Comments

vielen Dank für schnelle Antwort.

Kannst du mir das besser erklären? Was soll ich da machen, zuerst das GS lösen und dann ewas machen oder zuerst etwas machen und dann lösen?

Z/7Z, 8=1, 9=2 usw. soll ich die Zahlen(z.B. 9x+3y+10z) umformen oder nicht?

Welcher Einflüß hat dies Z/7Z für meine allgemeine Lösung?


LG

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Du kannst zu jeder Zeit einen beliebigen Repräsentanten einer Restklasse wählen.

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Was wäre hier Lösung:

5*x1+2*x2+x3=1

x+4*x2+2*x3=0

2*x1+2*x2=3


x1=2/9;

x2=23/18;

x3=-24/9


Diese Zahlen kann ich nicht im Bereich 7Z umformen.D.h. Das System ist im 7Z nicht lösbar, oder?

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doch, weil

\( 2/9 = 2/2 = 1 \),

\( 23/18 = 2/4 = 1/2 = 2^{-1} = 4 \),

\( -24/9 = -3/2 = -3 * 2^{-1} = 4 * 4 = 2 \).

Alles klar? :)

MfG

Mister

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Hallo Mister,

vielen Dank für deine Hilfe!

kannst du mir noch eine Sache erklären, wieso 1/2 gleich 4 ist. Was wäre 1/2 im 5Z usw.?Sonst, habe gut verstanden!

Bedanke dir noch einmal!


MfG,

Dkoto

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und wie wandelt man 3/2 um? oder 5/2(7Z)? das kann man nicht weiter umformen oder?

MfG,

Dkoto

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easy, \( 1/2 \) heißt nichts anderes als \( 1 \) mal das Inverse von \( 2 \), also

\( 1/2 = 1 \cdot 2^{-1} = 1 * 4 = 4 \).

\( 4 \) ist das Inverse von \( 2 \), weil \( 2 \cdot 4 = 8 \equiv 1 \) ist.

In \( \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \) ist das Inverse von \( 2 \) die \( 3 = 2^{-1} \), weil \( 2 \cdot 3 = 6 \equiv 1 \) ist.

Du siehst, das Inverse von \( 2 \) lässt sich in \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) immer besonders leicht durch \( \frac{n + 1}{2} \) bestimmen beziehungsweise angeben.

MfG

Mister

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sehr nett von dir!

noch eine Frage: (würzel von 2/3)*i ,also komplexe Zahl im Bereich 5Z?


LG,

Dkoto

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Das kommt ganz darauf an...

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kann man diese Zahl umformen oder nicht?Wenn JA, wie?

LG

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Das ist von verschiedenen Faktoren, wie zum Beispiel vom Kontext, abhängig.

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Ich sage mal so: Die Wurzel von 2/3 in \( \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \) ist 2:

\( \sqrt{\frac{2}{3}} = 2 \) (selbst rausfinden).

Mit der imaginären Einheit \( i \) kann man rechnen:

\( \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot i = \sqrt{\frac{2}{3} i^2} = \sqrt{- \frac{2}{3}} = \sqrt{1} = 1 \) oder \( 4 \).

MfG

Mister

PS: Ja, richtig gesehen \( - \frac{2}{3} = 1 \) in \( \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \).

PPS: Man befindet sich nun nicht mehr in \( \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \), sondern in \( \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}[i] \).