Potenzreihenentwicklung der Funktion f(x) = (x^3+2x)/(x^2-2)

Question

Hallo Community,

ich bin in der Prüfungsvorbereitung und hänge bei einer Aufgabe. Könntet ihr mir vielleicht helfen?

(1) Ermitteln der Potenzreihenentwicklung von f(x) = (x³+2x)/(x²-2) mit dem Enticklungspunkt x₀ = 0.
(2) Geben Sie das allgemeine Bildungsgesetz für die Koeffizienten der Reihenentwicklung an.
(3) Für welche reellen Zahlen konvergiert die Reihe

Answer 1

$$\frac{x^3+2x}{x^2-2}=x-2x\frac1{1-\frac{x^2}2}=x-2x\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{x^2}2\right)^k=x-\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{2^{k-1}}x^{2k+1}$$$$=x-\left(2x-\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{2^{k-1}}x^{2k+1}\right)=-x-\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{2^{k-1}}x^{2k+1}.$$

Comments

Könntest du mir einen Tipp geben, wie man sowas erkennt?

Wie kommst du eigentlich auf das Zwischenergebniss: x-2x * 1/(1-(x^2)/2)

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Polynomdivision mit Rest liefert$$(x^3+2x):(x^2-2)=x+\frac{4x}{x^2-2}=x-4x\frac1{2-x^2}.$$Klammere nun im Nenner den Faktor \(2\) aus und erhalte$$\frac{x^3+2x}{x^2-2}=x-2x\frac1{1-\frac{x^2}2}.$$Der letzte Bruch entspricht offenbar dem Wert der geometrischen Reihe $$\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{x^2}2\right)^k.$$Anschließend musst du nur noch einsetzen, zusammenfassen und sortieren.

Answer 2

Frage war:

Zusammenfassung Potenzreihenentwicklung

$$x-2x\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{x^2}2\right)^k=x-\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{2^{k-1}}x^{2k+1}$$
$$=x-\left(2x-\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{2^{k-1}}x^{2k+1}\right)=-x-\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{2^{k-1}}x^{2k+1}.$$

Kann mir jemand vielleicht erklären, wie man solch eine Reihe zusammenfasst.
Ich hab echt keine Ahnung.



:D

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Antwort:

Schau doch mal an.

(x^2/2)^k = x^{2·k} / 2^k

Und wenn du das 2x vor der Summe da mit dazu tust

x^{2·k} / 2^k · 2·x = x^{2·k + 1} / 2^{1 - k}

Mehr ist das doch nicht.

Comments

ich fürchte, das ist nicht die Antwort, die der Fragesteller erwartet.

Unter "Zusammenfassen" stelle ich mir   (x³ + 2x) / (x² - 2)   als Ergebnis vor.

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Dann hätte da nicht so ein Umsand machen müssen und hätte eine Summenausdruck hinschreiben sollen, den man in einen expliziten Term umwandeln soll.

Ich dachte er versteht seine Gleichungen nicht.

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für mich sieht das nach Versuchen aus, das von mir angegebene Ergebnis zu produzieren. Die Umformungsschritte sind ja durchaus richtig (von einem Schreibfehler im dritten Term abgesehen), aber leider nicht zielgerichtet.

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Mir ist immer noch nicht ganz klar. Ich brauch nur 2 sachen.
Was hast du gegeben und wo willst du hin?

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https://www.mathelounge.de/127260/potenzreihenentwicklung-der-funktion-f-x-x-3-2x-x-2-2

Hier nochmal der Link :)

Hey hj21, stimmt das warst du. Sorry nach dem Schritt, weiß ich nicht, wie du genau darauf gekommen bist.

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Dann Frag immer in der original Frage nach und nicht eine neue Frage aufmachen.

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Sorry ._.

Könntest du mir helfen hj21??

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Wo brauchst du denn noch genau Hilfe ?

Was hast du konkret nicht verstanden ?

Wenn du das nicht erzählst dann kann dir auch kaum jemand helfen.
Also bitte sag genau mit welcher Umformung du deine Schwierigkeiten hast.

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Sorry, dass ich dir die Umstände mache und echt ein Danke das du mir hilfst :)

Dieser Zwischenschritt:

$$x-2x\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{x^2}2\right)^k=x-\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{2^{k-1}}x^{2k+1}$$

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Hast du Schwierigkeiten, weil MatheCoach in seiner Antwort ein Divisions- mit einem Multiplikationszeichen verwechselt hat ?

Ansonsten hat er die Umformung doch ausführlich erklärt.

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Unter der Summe steht wie bereits erwähnt

(x^2/2)^k 

= x^{2·k} / 2^k

= x^{2·k} · 2^{- k}

Und wenn du das 2x vor der Summe da mit dazu tust

x^{2·k} · 2^{- k} · 2·x

= x^{2·k} · x^1 · 2^{- k} · 2^1

= x^{2·k + 1} · 2^{1 - k}

= x^{2·k + 1} / 2^{k - 1} 

Jetzt verstanden?

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Okay, bin jetzt draufgekommen :)

Danke für eure Hilfe :)

Sorry, bin grade in Klausurstress und irgendwie bin ich extrem verpeilt...


Nochmals danke :D