Kurvendiskussion f(x) = x · e^{2-x}

Question

Hallo

ich beschäftige ich mal jetzt mit Kurvendiskussion

f(x) = x · e^2-x

ich kann das eigentlich mit Rationalen Funktionen, aber mit e funktionen nicht

kann mir das jemand schritt für Schritt erklären?


LG

Answer 1

Hi,

was soll hier anders sein als sonst?

 

f(x) = x*e^{2-x}

Produktregel für den Rest.

f'(x) = -x*e^{2-x} + e^{2-x}

f''(x) = x*e^{2-x}-2*e^{2-x}

f'''(x) = -x*e^{2-x}+3*e^{2-x}

 

Damit kann man nun alles nötige berechnen:

 

Nullstellen:

f(x) = 0

x = 0

 

Extrema:

f'(x) = 0 und f''(x) ≠ 0

-> Maximum bei H(1|e)

 

Wendepunkte:

f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0

-> W(2|2)

 

Das findet man alles recht schnell, wenn man obige Ableitungen als Produkt schreibt und Satz von Nullprodukt anwendet.

Symmetrie:

Keine Achsensymmetrie zur y-Achse vorhanden. Keine Punktsymmetrie zum Ursprung

 

Was fehlt noch? Schaffst Du sicher auch selbst vollends?! ;).

 

Grüße

Comments

Hi Unknown

eigentlich ist nichts anders. Eigentlich kann ich das, aber hab mich nicht so getraut

Danke für deine Hife :)

---

Stets zu Diensten ;).

Answer 2

f(x) = x · e^2-x

Def Bereich : es gibt keine Einschränkungen D = ℝ
Nullstelle : ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer
der Faktoren 0 ist. Die e-Funktion ist immer positiv.
f(x) = x · e^2-x  => x = 0
N ( 0  | 0 )
Verhalten an den Grenzen des Def-Bereichs
lim x -> -∞  [  x · e^2-x ] geht gegen -∞,
lim x -> ∞  [  x · e^2-x ]  = 0
1.Ableitung  ( Produktregel )
f ( x ) = x · e^2-x
f ´( x ) = 1 * e^2-x + x * e^2-x * ( -1)
f ´( x ) =  e^2-x -  x * e^2-x
f ´( x ) =  e^2-x * ( 1  -  x  )
Extrempunkt
e^2-x * ( 1  -  x  ) = 0
1 - x = 0
x = 1
f ( 1 ) = 1 · e^2-1
f ( 1 ) = e
E ( 1 | e )
Jetzt habe wir doch schon etwas um sich den Kurvenverlauf
vorzustellen
von links aus -∞ kommend
durch ( 0 | 0 ) weiter zum Hochpunkt ( 1 | e ) und
nach rechts gegen 0.
Der Extrempunkt ist ein Hochpunkt weil der Funktionswert
von e wieder auf 0 abfällt.
Nachweis über Monotonie
Steigend : f ´( x ) > 0
e^2-x( 1  -  x  ) > 0
1 -x > 0
x < 1
Fallend :
x > 1
Vor dem Extrempunkt steigend nach dem Extrempunkt fallend.
Extrempunkt ist ein Hochpunkt.
Wendepunkt
2.Ableitung
f ´( x ) =  e^2-x( 1  -  x  )
f ´´( x ) = e^2-x * (-1)  *(1  -  x  ) + e^2-x * (-1) 
f ´´( x ) = e^2-x * (x  - 1 )  - e^2-x
f ´´( x ) = e^2-x * (x  - 2 ) 
Wendepunkt
e^2-x * (x  - 2 )  = 0
x - 2 = 0
x = 2
f (2 ) = 2 · e^2-2
f ( 2 ) = 2
W ( 2  | 2 )
Soviel zunächst

mfg Georg

 

 

Comments

Hi Georg

auch natürlich vielen Dank für deine Hilfe!