Wie lautet die Wachstumsfunktion f, die die Zahl der Kolibakterien in Abhängigkeit von der Zeit t beschreibt?

Question

Im Dickdarm des Menschen befinden sich Kolibakterien. Sie können in eine Niere vordringen und eine Nierenbeckenentzündung hervorrufen. Die Infektion macht sich ab einer kritischen Größe von etwa 100 Millionen Kolibakterien bemerkbar. Kolibakterien verdoppeln ihr Anzahl etwa alle 20 Minuten. Angenommen 100000 Kolibakterien seien bereits in eine Niere gelangt.
a) Wie lautet die Wachstumsfunktion f, die die Zahl der Kolibakterien in Abhängigkeit von der Zeit t beschreibt?

Answer 1

Angenommen t wird in Minuten beschrieben dann lautet die Wachstumsfunktion:

f(t) = 100000 * 2^{t/20}

Wenn man wissen will ab wann die kritische Menge von 100000000 erreicht wird setzt man gleich.

f(t) = 100000 * 2^{t/20} = 100000000

2^{t/20} = 1000

t/20 = ln(1000) / ln(2)

t = 20 * ln(1000) / ln(2) = 199.3

Die Infektion würde sich etwa nach 200 Minuten bemerkbar machen.