Betragsgleichungen quadratische Gleichung

Question

Bitte um Hilfe bei folgender Betragsgleichung.

I 2x + 4I = - (x² - x - 6)

ich komm nicht durch bitte mit Erklärung

Dankeschön

Answer 1

Hi,

Der Betragsstrich kommt dann zum Tragen, wenn dessen Inhalt < 0 wird.

Also unterscheiden wir die beiden Fälle:

Fall 1: 2x+4 ≥ 0 -> x ≥ -2

 

2x+4 = -x^2+x+6  |+x^2-x-6

x^2+x-2 = 0           |pq-Formel

x₁ = -2 und x₂ = 1

Beides ist ≥ -2 also auch Lösung.

 

Fall2 : 2x+4 < 0 -> x < -2

-2x-4 = -x^2+x+6   |+x^2-x-6

x^2-3x-10 = 0         |pq-Formel

x₃ = -2 und x₄ = 5

liegt beides nicht im Intervall x < -2.

 

Wir haben also die Gesamtlösung x₁ = -2 und x₂ = 1

 

Grüße

Answer 2

\(|2x + 4| = - (x² - x - 6)   \)

\(2*|x + 2| = - [x² - x - 6]  \)

Zwischenrechnung:

\( x² - 1*x - 6=0  \)

\( x² - 1*x =6  \)    

\( (x - 0,5)^2=6,25  \) 

1.)

\(x - 0,5=2,5 \)

\(x_1=3 \)

2.)

\(x - 0,5=-2,5 \)

\(x_2=-2 \)

...............

\(2*|x + 2| = (- 1)*(x-3)*(x+2)  |^2 \)

\(4*(x + 2)^2 =  (x-3)^2*(x+2)^2  \)

\(4*(x + 2)^2 - (x-3)^2*(x+2)^2 =0 \)

\([(x + 2)^2]*[4 - (x-3)^2]=0 \)

Satz vom Nullprodukt:

1.)

\([(x + 2)^2]=0 \)

\(x=-2 \) Probe, da Quadrieren keine Äqivalenzumformung ist:

\(|2*(-2) + 4| = - ((-2)^2 +2 - 6)  \)

\(0 = - (4 +2 - 6)  \) stimmt

2.)

\([4 - (x-3)^2]=0 \)

\([ (x-3)^2=4 \)

A) \([ x-3=2 \)

 \([ x=5 \)

\(|2*5+ 4| = - (25 - 5 - 6)  \)  stimmt nicht

B) \([ x-3=-2 \)

\( x=1 \)

\(|2 + 4| = - (1 - 1 - 6)  \)  stimmt