Korrekte Schreibweise für Monotonie und Intervall, Beispiel f(x)=x^2

Question

Ich bereite gerade neben den Videos zur Symmetrie bei Funktionen das Einführungsvideo zur Monotonie bei Funktionen vor. Dabei stellt sich mir die Frage nach der korrekten Schreibweise. Zum Beispiel bei f(x) = x^2 habe ich:

  streng monoton fallend für ]-∞;0[
  {x∈ℝ|-∞<x<0}

  monoton fallend für ]-∞;0]
  {x∈ℝ|-∞<x≤0}

  streng monoton steigend für ]0;∞[
  {x∈ℝ|0>x>∞}

  monoton steigend für [0;∞[
  {x∈ℝ|0≥x>∞}

Wie ihr seht, unterscheide ich bei "strenger" oder "einfacher" Monotonie, ob die Null enthalten ist oder nicht. Bei Null haben wir ja in diesem Fall keine Steigung. Ist das so korrekt?

Schöne Grüße
Kai

PS: Ich glaube, es fehlt noch an einem Video zur Intervallschreibweise.

Answer 1

Hi Kai,
das dachte ich bis vor 1-2 Jahren auch. Das aber stimmt leider nicht.
Streng monoton fallend bedeutet lapidar gesagt, "es gibt immer einen Folgewert der kleiner ist".
Monoton fallend besagt "es gibt immer einen Folgewert der kleiner ist oder sogar gleich groß".

Folglich kannst Du hier keinen Unterschied ausmachen.
x^2 ist auch inklusive x = 0 streng. Denn auch die 0 ist kleiner als der Vorwert (0,0....01)

Nehmen wir mal noch ein Beispiel (eine Folge), wo keine strenge Monotonie vorliegt.
Folge: 10, 9, 8, 7, 6, 6, 5, 4, 3, 2, 1

Diese ist insgesamt monoton fallend, aber nicht streng monoton, da der Wert 6 doppelt vorhanden ist.

 

Grüße

Answer 2

Ja das dachte ich auch immer. Hier ist der entscheidende Auszug aus Wikipedia. Auch wenn Wikipedia nicht unbedingt immer richtig liegt.

https://de.wikipedia.org/wiki/Monoton_steigend

Damit sind ganzrationale Funktionen immer streng monoton in den verschiedenen Teilintervallen und nie monoton.

Was mich aber trotzdem immer verwirrt ist die Tatsache, das bei x^2 die 0 zu beiden Intervallen gezählt wird. Zum streng monoton fallenden Intervall und zum streng monoton steigenden Intervall.

Comments

Das liegt an der Definition der strengen Monotonie:

Eine Funktion \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) ist streng monoton wachsend (auf \([a,b]\)), wenn gilt: \(\forall x,y \in [a,b]:(x<y\Rightarrow f(x)<f(y))\) und streng monoton fallend, wenn gilt: \(\forall x,y \in [a,b]:(x<y\Rightarrow f(x)>f(y))\). (Bei dieser Definiton braucht man nicht mal die Differenzierbarkeit von \(f\)).

Und deswegen ist \(x\mapsto x^2\) streng monoton wachsend auf \( [0,\infty )\) und streng monoton fallend auf \( (-\infty, 0]\).