Injektivität und Surjektivität von 1. f:R^2-->R (x,y)-->f(x+y)=x+y 2. usw. untersuchen

Question

Untersuchen Sie die Injektivität und Surjektivität von

1. f:R^2-->R  (x,y)-->f(x+y)=x+y

2.sin:R-->R   x-->sin(x)

3.f:R-->R       x-->f(x)=1/x +2

zu 1(injektivität):

Seien (x1,y1),(x2,y2)  aus R^2, dann gilt:

f(x1,y1)=f(x2,y2)-->(x1+y1,0)=(x2+y2,0)

-->x1+y1=x2+y2

--> f ist nicht injektiv

 

zu 2(injektivität):

Seien (x1,y1),(x2,y2) aus R^2 , dann gilt:

f(x1,y1)=f(x2,y2)-->(sin(x1),0)=(sin(x2),0)

-->sin(x1)=sin(x2)

--> f ist nicht injektiv

 

zu 3(injektivität):

Sei x1,x2 aus R beliebig mit f(x1)=f(x2)

d.h. 1/x1 +2 = 1/x2 +2

        1/x1     =  1/x2

          x2      =     x1

--> f ist injektiv

 

Surjektivität ??????

Answer 1

Deine Berechnungen zu injektiv leuchten ein.

Du brauchst wohl nur noch die Surjektivität? 

Dazu musst du dir überlegen, ob alle Werte im Wertebereich auch angenommen werden.

1. f:R^2-->R  (x,y)-->f(x+y)=x+y

Ist surjektiv. Begründung: Sei a in IR beliebig, so ist a Funktionswert von (a,0). Denn f(a,0) = a. qed surjektiv.

2.sin:R-->R   x-->sin(x)

nicht surjektiv. Begründung: ZB. der Wert 2 wird nicht angenommen, da |sin x| ≤ 1.

3.f:R-->R       x-->f(x)=1/x +2

nicht surjektiv. Begründung: der Wert 2 wird nicht angenommen. Beweis

1/x + 2 = 2 |-2

1/x = 0             ist für kein reelles x richtig.