Grenzwerte berechnen von Funktionen/Folgen. Beispiel: lim (3^x - 2^x)/x für x gegen 0.

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie folgende Grenzwerte:

a) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{3^{x}-2^{x}}{x} \)

b) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (x)}{x} \)

c) \( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}+x^{2}-x-1}{x^{2}-1} \)

d) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} \)

Answer 1

lim (x→0) (3^x - 2^x)/x = LN(3/2)

lim (x→0) SIN(x)/x = 1

lim (x→1) (x^3 + x^2 - x - 1)/(x^2 - 1) = 2

lim (x→∞) (e^x - e^{-x})/(e^x + e^{-x}) = 1

Falls irgendeine Berechnung unklar ist bitte Nachfragen.

Comments

Verstehe a) und d) nicht so richtig. Bei b) und c) habe ich L'Hospital verwendet und bin so zu den angegebenen Lösungen gekommen. Bei a) und d) würde ich auch L'Hospital verwenden, allerdings komme ich hier nicht weiter. Bei d) ist doch die e Funktion abgeleitet immer wieder die e Funktion, was mich hier nicht weiter bringt. Bei a) komme ich einfach auf ein falsches Ergebnis.

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bei d) kannst du doch oben und unten durch e^x teilen.

(e^x - e^-x)/(e^x + e^-x) = (1-e^{-2x})/(1+e^{-2x}) und nun direkt Grenzwert ansehen. Ohne Hospital.

zu a) Wie leitest du denn 2^x ab?

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Bei der Ableitung von 2^x habe ich 2^x * ln(2).d) habe ich jetzt verstanden.

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Dann hast du doch

lim (x→0) (3^x - 2^x)/x 

= lim (x→0) (ln3*3^x - ln2*2^x)/1         |jetzt für x die 0 einsetzen (Grenzwert!)

= (ln3 *1 - ln2 * 1)/1 = ln3 - ln2 und Logarithmengesetze nachschlagen.

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Ja, da hätte ich wohl auch selber drauf kommen können. Habe das einfach nicht sofort gesehen. Muss halt noch viel üben. Danke für deine Hilfe.