Kurvendiskussion: Definitionsbereich, Nullstellen, Extremstellen, Wendepunkt von f(x) = (x²-5)e^{-x/2}

Question

Bestimmen Sie den Definitionsbereich, die Nullstellen, die Extremstellen und die Wendepunkte der Funktion: f(x) = (x²-5)e^{-x/2}

Answer 1

Bestimmen Sie den Definitionsbereich, die Nullstellen, die Extremstellen und die Wendepunkte der Funktion:

f(x) = (x^2 - 5) * e^{-x/2}

f '(x) = - 0.5·e^{- 0.5·x}·(x^2 - 4·x - 5)

f ''(x) = 0.25·e^{- 0.5·x}·(x^2 - 8·x + 3)

Es gibt keine Einschränkungen des Definitionsbereiches daher D = R

Nullstellen: f(x) = 0
(x^2 - 5) = 0
x = ± √5 = ± 2.236067977

Extremstellen: f '(x) = 0
x^2 - 4x - 5 = 0
x = -1 und x = 5

f(-1) = - 4·√e = -6.594885082
f(5) = 20·e^{- 5/2} = 1.641699972

Wendestellen f ''(x) = 0

x^2 - 8·x + 3 = 0
x1 = 0.3944487245 und x2 = 7.605551275

f(0.3944487245) = -3.977291828
f(7.605551275) = 1.178893517

Skizze:

Comments

Vielen lieben Dank an Der_Mathecouch :) Ich habe leider noch eine Frage. Könnten Sie mir bitte einmal erklären wie Sie auf die Ableitung von e^{x/-2} gekommen sind? Ich sehe da leider gar nicht durch.

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Die Ableitung von

e^{-x/2} = e^{-1/2*x}

ist nach der Kettenregel

e^{-1/2*x} * (-1/2) = -0.5e^{-x/2}

Die Ableitung von (x^2 - 5) * e^{-x/2} mache ich dann mit der Produktregel. Brauchst du da auch noch eine genaue Rechnung zum Nachvollziehen oder schaffst du das alleine?

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Ehrlich gesagt verstehe ich nicht wie du auf die -4x kommst bei f(x)=-0,5e^{-0,5x}*(x²-4x-5).

Ich weiss die Produktregel ist:  u´ *v+ u* v´.

Also: 2x * e ^ (-x/2) + x²-5 * -0,5e ^{-0,5x}

oder lieg ich da falsch?

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f(x) = (x^2 - 5) * e^{-x/2}

f '(x) = 2x * e^{-x/2} + (x^2 - 5) * e^{-x/2} * -1/2

Jetzt das e^{} ausklammern

f '(x) = e^{-x/2} * (2x - 1/2 * (x^2 - 5))

f '(x) = e^{-x/2} * (2x - 1/2 x^2 + 5/2))

Nun kann man aber am besten den Faktor -0.5 auch noch ausklammern, damit ich in der Klammer keine Brüche mehr habe.

f '(x) = -0,5 * e^{-x/2} * (- 4x + x^2 - 5)

f '(x) = -0,5 * e^{-x/2} * (x^2 - 4x - 5)

Das sind hier also eher Design-Tricks um die Funktion möglichst einfach zu schreiben. Das ausklammern der e-Funktion ist aber sinnvoll und unabdingbar, wenn man später auf Nullstellen untersuchen möchte.

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Ok. Ich glaube ich habe es jetzt verstanden. Zum Test hier jetzt eine andere Aufgabe:

f(x)= (x² - 6) * e^-2x

e^-2x= -2e^-2x

f´(x)=( 2x + e^-2x )*( (x²-6) + e^-2x -2)

f´(x)= e^-2x * (2x -2 * (x²-6))

f´(x)= e^-2x * (2x -2x² +12)

f´(x) = -2e^-2x (-1x +x² -6)

f´(x) = -2e^-2x (x² -1x-6)

 

f´´(x)= e^-2x (x²-5x-4)

Ist das jetzt richtig?

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Überdenke bitte noch einmal die Anwendung der Produktregel

f(x) = e^{- 2x} * (x^2 - 6)

f '(x) = -2 * e^{- 2x} * (x^2 - x - 6)

f ''(x) = 2 * e^{- 2x} * (2x^2 - 4x - 11)

Answer 2

\(f(x) = (x^2 - 5) * e^{-\frac{1}{2}x}=\frac{x^2 - 5}{e^{\frac{1}{2}x}}\)

Ableitung mit der Quotientenregel:

\( \frac{Z´*N-Z*N´}{N^2} \)

\(Z=x^2 - 5\)→  \(Z´=2x\)

\(N=e^{\frac{1}{2}x}\)→      \(N´=e^{\frac{1}{2}x}*\frac{1}{2}\)

\(N^2=(e^{\frac{1}{2}x})^2 \)

\(f´(x) =\frac{2x*e^{\frac{1}{2}x}-(x^2 - 5)*e^{\frac{1}{2}x}*\frac{1}{2}}{(e^{\frac{1}{2}x})^2}\)

\(f´(x) =\frac{2x-\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{2}}{e^{\frac{1}{2}x}}\)