Homogenität einer Funktion bestimmen

Question

wenn ich die Homogenität einer Funktion f(x,y) bestimmen soll, kann ich dann einfach die Exponenten summieren und wenn bei jedem Term die Summe der Exponenten gleich ist, dann ist der Exponent der Grad meiner Homogenität. Ist das so korrekt? Wenn die Summe nicht bei jedem Term gleich ist, ist die Funktion nicht homogen. Das ist für mich wesentlich leichter als jedes x und y durch tx und ty zu ersetzen und dann t auszuklammern um den Grad der Homogenität zu bestimmen. Es wäre nett wenn mir jemand sagen könnte ob ich meine Methode bei jeder Aufgabenform anwenden kann und so immer auf das richtige Ergebnis komme. 

 

Danke

Answer 1

also ein Polynom ist homogen vom Grad \( d \), wenn die Summe der Exponenten eines jeden Monoms \( d \) ist.

Beispielsweise ist \( f(x) = x^4 \) homogen vom Grad \( 4 \). oder \( f(x, y) = x^2 + xy \) ist homogen vom Grad \( 2 \) (überrascht?).

Allgemein ist eine Funktion in \( n \) Variablen \( x_i \) homogen vom Grad \( d \), wenn

\( f(\lambda x_1, ..., \lambda x_n) = \lambda^d f(x_1, ..., x_n) \)

ist.

MfG

Mister

Comments

Hi, wie erkenne ich das aber bei dieser funktion:

 

$$G(x,y)=\sqrt { xy } ln\quad \frac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ xy }$$

Wenn ich die Wurzel anders schreibe erhalte ich (xy)^1/2 Dieser Term hat also 1 als Summe seiner Exponenten. 

Die Terme im Zähler haben 2 als Summe ihrer Exponenten und der Nenner hat 2. Wie komme ich mit der Methode hier auf das Ergebnis? 

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Du setzt ganz einfach \( \lambda \) ein, wie es oben schon geschrieben steht und kuckst, ob die Gleichung

\( G(\lambda x, \lambda y) = \lambda^d G(x, y) \)

rauskommt. Im \( \ln(...) \)-Term kürzt sich das \( \lambda \) übrigens vollkommen raus, sodass der Grad der Homogenität dieser Funktion tatsächlich

\( d =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}= 1 \)

ist.

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Hi, dass "Einsetzungsverfahren" ist mir soweit bekannt. Nur kann die Homogenität nicht auch ohne einsetzen anhand der Exponenten einfach "ablesen"? Wenn ich eine Funktion f(x,y) = 2y²+2x² /(xy) habe, kann ich ja einfach die Exponenten der Terme im Zähler summieren und die Exponenten der Terme im Nenner dann davon abziehen. Im Zähler habe ich 2 als Summe der Exponenten pro Term und im Nenner  auch 2. Somit ist die Funktion Homogen vom Grad 0 oder nicht? Ich mus