Question

Untersuchen Sie die Funktion auf Monotonie und Krümmung!
f(x)= 17-x^3+6x

Answer 1

f(x) = 17 - x^3 + 6·x

f'(x) = 6 - 3·x^2

f''(x) = - 6·x

 

Streng monoton steigend für f'(x) ≥ 0

6 - 3·x^2 ≥ 0
- √2 ≤ x ≤ √2

In den anderen Bereichen streng monoton fallend

 

Linksgekrümmt für f''(x) ≥ 0

- 6·x ≥ 0
x ≤ 0

In den anderen Bereichen rechtsgekrümmt.

Answer 2

Hi,

Monotonie und Krümmung untersuchst Du mittels der ersten und zweiten Ableitung:

 

Bestimmung der Ableitungen:

f(x) = 17-x^3+6x

f'(x) = -3x^2+6

f''(x) = -6x

f'''(x) = -6

 

Bestimmen der Extrema -> hier wechselt die Monotonie

f'(x) = -3x^2+6 = 0

x_1,2 = ±√2

Damit in die zweite Ableitung und diese ist in der Tat ≠ 0, wir haben also Extrema.

Punktprobe um Art der Monotonie in den drei möglichen Intervallen zu bestimmen.

x = 0 -> f'(0) = 6 > 0 -> monoton steigend.

 

Wir haben also für x ≤ -√2 monoton fallend.

Für -√2 ≤ x ≤ √2 monoton steigend.

Für x ≥ √2 liegt wieder monoton fallend vor.

 

Krümmung:

f''(x) = -6x = 0

--> x = 0

Hier liegt ein Wendepunkt vor (f'''(0) ≠ 0) und damit eine Änderung der Krümmung.

Für f''(x) > 0 , also für x < 0 liegt eine Linkskrümmung vor.

Für x > 0 haben wir eine Rechtskrümmung.

 

Grüße

Comments

(*Scherzmodus an*)
@unknown
Zitat
"  Für -√2 ≤ x ≤ √2 monoton steigend.
Für x ≥ √2 liegt wieder monoton fallend vor. "
heißt doch u.a.
für x = √2 steigend
für x = √2 fallend
mfg Georg
(*Scherzmodus aus*)

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@georgborn: Das ist richtig, sofern du dich mit der Definition https://de.wikipedia.org/wiki/Monotonie_(Mathematik)

einverstanden erklärst.

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@unknown
mir ist diese neumodische Ansicht auch bekannt,
sie wurde ja in letzter Zeit hier diskutiert.
Die alte Definition oder wie ich sie kenne :
Ein Extrempunkt hat die Steigung 0, er ist
ein Punkt mit waagerechter Tangente,
die Funktion ist in diesem Punkt
weder steigend noch fallend.
Der Extrempunkt gehört weder in den einen
noch in den anderen Monotoniebereich
ist auch vertretbar.
mfg Georg

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@Georg: Es hat Dir Lu geantwortet. Dennoch hat sie komplett richtig verwiesen.

Ohnehin sprach ich schlicht von steigend und fallend...ohne streng zu verlangen, da gibt es keinen Interpretationsspielraum. Das gehört mit rein ;).

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@georgborn: Und was machst du, wenn die Funktion an ihrer Extremstelle gar nicht differenzierbar ist? Man sagt übrigens nicht, eine Funktion wäre in einem bestimmten Punkt monoton wachsend oder fallend, sondern auf einem bestimmten Intervall: hier also "\(f\) ist streng monoton wachsend auf \([-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\)".

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Hm. Jetzt ist mir doch noch etwas unklar. Ich hatte mir irgendwie gemerkt das Polynome (nehmen wir mal die Konstanten Funktionen aus) immer streng monoton sind, weil Polynome auf einem beliebigen Intervall nie immer denselben Funktionswert haben.

Also f(x) = x^5 ist auch streng monoton steigend.

Warum schreibst du jetzt explizit, dass du gesagt hast sie ist nur monoton und nicht streng monoton ?
Jetzt bin ich total verwirrt.

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Das hast du dir richtig gemerkt. ;-)
\(x\mapsto x^5\) ist streng monoton steigend auf ganz \(\mathbb{R}\).

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Nicht verwirren lassen. Hätte auch die strenge Monotonie mitnehmen können. War nur nicht verlangt xp