Der mittelwert von fünf Zahlen ergibt 12.

Question

Welche zwei zahlen kann man hinzufügen ohne dass sich der Mittelwert ändert ?

Answer 1

Für den Mittelwert m₅ von fünf Zahlen gilt laut Aufgabnstellung:

m₅ = ( 1 / 5 ) * ∑⁵_i=1 x_i = 12

Nach dem Hinzufügen der beiden Zahlen x₆ und x₇ gilt für den Mittelwert m₇ der dann 7 Zahlen:

m₇ = ( 1 / 7 ) * ∑⁷_i=1 x_i

Es soll nun gelten

m₅ = m₇ = 12

Also muss gelten:

( 1 / 5 ) * ∑⁵_i=1 x_i = ( 1 / 7 ) * ∑⁷_i=1 x_i

<=> ( 7 / 5 ) * ∑⁵_i=1 x_i =  ∑⁷_i=1 x_i

<=> ( 7 / 5 ) * ∑⁵_i=1 x_i =  ∑⁵_i=1 x_i + x₆ + x₇

<=> ( 7 / 5 ) * ∑⁵_i=1 x_i -  ∑⁵_i=1 x_i = x₆ + x₇

<=> ( 2 / 5 ) * ∑⁵_i=1 x_i = x₆ + x₇

<=> 2 * ( 1 / 5 ) * ∑⁵_i=1 x_i = x₆ + x₇

Laut Voraussetzung ist:

m₅ = ( 1 / 5 ) * ∑⁵_i=1 x_i = 12, also:

<=>  2 * m₅ = x₆ + x₇

<=>  2 * 12 = x₆ + x₇

<=> x₆ + x₇ = 24

Der Mittelwert ändert sich also genau dann nicht, wenn die Summe der beiden hinzugefügten Zahlen gleich dem Doppelten des ursprünglichen Mittelwertes m₅, vorliegend also gleich 24 ist.

Beispiel:

4 + 16 + 9 + 23 + 8 = 60

=> m₅ = 60 / 5 = 12

Fügt man nun z.B. die Zahlen x₆ = 19 und x₇ = 5 hinzu, so erhält man:

m₇ = ( 4 + 16 + 9 + 23 + 8 + 19 + 5 ) / 7 = 84 / 7 = 12 = m₅

Answer 2

(12 - a) und (12 + a) Also z.b.

12 und 12 für a = 0

11 und 13 für a = 1

etc.

Comments

wenn statt der 12 8 stehen würde wäre es dann

(8-a) und (8+a)


wäre das 7 und 9

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Genau. Aber dann ist der Mittelwert nicht mehr 12.