Ich probiere mal die Aufgabe erstmal allgemein zu machen um dann nur nach die Daten einzusetzen.
Extremwertaufgabe: Oben offene Quader mit max. Volumen aus einem Rechteck
Aus einem Rechteck mit den Seiten \( a \) und \( \mathrm{b} \) soll durch herausschneiden von Quadraten mit der Seitenlānge \( x \) ein oben offener Quader mit max. Volumen hergestelit werden.
1. Die zu maximierende Zielfunktion aufstellen.
\( V=(a-2 \cdot x) \cdot(b-2 \cdot x) \cdot x=4 \cdot x^3-2 \cdot a \cdot x^2-2 \cdot b \cdot x^2+a \cdot b \cdot x \)
2. Damit die Zielfunktion ein Maximum hat muss die Ableitung Null werden.
\( V^{\prime}=12 \cdot x^2 \cdot(4 \cdot a+4 \cdot b) \cdot x+a-b=0 \)
\( x=\left(-b-\sqrt{ \left.\left(b^2-4 \cdot a-c\right)\right) /(2 \cdot a)}\right. \)
\( \left.x=\left((4 \cdot a+4 \cdot b)-\sqrt{(}(4 \cdot a+4 \cdot b)^2-4 \cdot(12) \cdot(a \cdot b)\right)\right) /(2 \cdot(12)) \)
\( x=(a+b) / 6-\sqrt{\left(a^2-a \cdot b+b^2\right) / 6} \)
In die Lösung kann man jetzt Werte für a und b einsetzen.
Für \( \mathrm{a}=\mathrm{b} \) gilt dann:
\( x=(a+a) / 6-\sqrt{\left(a^2-a \cdot a+a^2\right) / 6}=a / 6 \)
Für \( \mathrm{a}=\mathrm{b}=240 \mathrm{~mm} \)
\( \mathrm{x}=\mathrm{a} / 6=40 \mathrm{~mm} \)
