Bestimmen Sie mit Hilfe der Taylor-Formel ein Polynom. In welcher Umgebung der 1 ist der Fehler kleiner als 0.1?

Question

folgende Aufgabe: Bestimmen Sie mit Hilfe der Taylor-Formel ein Polynom P₃(x) 3-ten Grades, das die Funktion f(x)=sin(x) in der Umgebung des Punktes x=1 approximiert. Für das Polynom habe ich berechnet: $$ sinh(x)+\frac { cosh(x)(x-1) }{ 1 } +\frac { sinh(x)(x-1)² }{ 2 } +\frac { cosh(x){ (x-1) }^{ 3 } }{ 6 } $$

Nun heißt es noch: In welcher Umgebung der 1 ist der Fehler kleiner als 0,1? Wie berechne ich das? Ich denke mal das hat was mit dem Restglied zutun. Ich habe dazu die Formel von Lagrange gefunden aber das hilft mir nicht weiter, da ich auch nicht verstehe was mit "Umgebung der 1" gemeint ist? x=1?

Answer 1

Restglied aufstellen und für x0 = 1 einsetzen. Im Restglied steckt noch ein Parameter drin, der die Fehlerwahrscheinlichkeit beschreibt. Der ist in deinem Fall kleiner als 0,1. Und dann überlegen, bei welchem x das Restglied gegen Null geht..

Comments

Ich habe das Restglied aufgestellt: $$ { R }_{ n }(x)=\frac { { f }^{ (n+1) }(\xi ) }{ (n+1)! } { (x-{ x }_{ 0 }) }^{ n+1 }\\ { R }_{ n }(x)=\frac { sinh(x)(\xi ) }{ 24 } { (x-1) }^{ 4 } $$

Meinst du mit Parameter für die Fehlerwahrscheinlichkeit ξ? ξ soll ja zwischen x und x₀ liegen. Ich habe ja dann aber zwei Unbekannte ξ und x.

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Die Fehlerwahrscheinlichkeit (= 0,1) ist lauf Aufgabestellung gegeben.

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Für x=2,4 => 0,0874 und für x=2,5 => 0,1276. Also x<=2,4?