√x + √(5·x - 10) = √2. Also: (wurzel x + wurzel(5x-10))=wurzel2

Question

wie loest man denn eine aufgabe mit zwei wurzeln links.

Comments

wie bekommt manauf der linken seite die zwei klammern weg. nach dem ersten quadrieren bleibt eine klammer uebrig.

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Wenn du etwas an meiner Lösung nicht verstehst dann bitte genau sagen was und auch unter meiner Antwort schreiben.

Answer 1

√x + √(5·x - 10) = √2

quadrieren

(√x + √(5·x - 10))^2 = 2

x + 2·√x·√(5·x - 10) + 5·x - 10 = 2

√x·√(5·x - 10) = 6 - 3·x

nochmals quadrieren

x·(5·x - 10) = 9·x^2 - 36·x + 36

5·x^2 - 10·x = 9·x^2 - 36·x + 36

4·x^2 - 26·x + 36 = 0

x = 4.5 ∨ x = 2

Probe ergibt als Lösung x = 2

Comments

in dem beispiel erstreckt sich die erste wurzel ueber die gesamte linke seite, nicht nur ueber dem x

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So etwa?

√(x + √(5·x - 10)) = √2

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Dann solltest du in folgenden Fragen die Klammern besser setzen. Rechnung bleibt aber ähnlich

√(x + √(5·x - 10)) = √2

quadrieren

x + √(5·x - 10) = 2

√(5·x - 10) = 2 - x

nochmals quadrieren

5·x - 10 = x^2 - 4·x + 4

x^2 - 9·x + 14 = 0

x = 7 ∨ x = 2

Probe ergibt x = 2 als Lösung.

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die wurzel steht vor dem x innerhalb der klammern und erstreckt sich ueber die ganze linke seite.

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ja danke, habe nicht daran gedacht, dass man das anders interpretieren koennte,

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Fotografier mal die Funktion ab. So wie du es gestellt hast ist die äußere Klammer doch unnötig.

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stimmt, das ergebnis ist richtig. ohne formeleditor lassen sich die wurzelgleichungen schwer darstellen.

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Man sollte sich nur merken das bei einer Wurzel der Radikant notfalls geklammert werden muss, wenn es ein Produkt oder eine Summe ist.

Answer 2

Hi, es sind drei Wurzeln und ich würde hier als allererstes den Definitionsbereich bestimmen...

Comments

ja schon klar, aber auf der linken seite sind zwei

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Variante 1: √x + √(5x - 10) = √2
Variante 2: √(x + √(5x - 10)) = √2

Jede dieser Gleichungen ist nur für x ≥ 2 definiert. (Es ist oft nützlich, zunächst den Definitionsbereich einer Gleichung zu bestimmen, denn wenn dieser etwa leer ist, ist das Suchen nach Lösungen überflüssig!) Wir wissen jetzt also, dass kein x < 2 eine Lösung sein kann, da für solche x die Gleichungen nicht definiert sind.

Weiter können wir uns leicht davon überzeugen, dass es ebenfalls keine Lösungen mit x > 2 geben kann, da dann die linken Seiten der beiden Gleichungen größer als die rechten wären.

Den noch verbliebenen Fall x = 2 erweisen wir durch Einsetzen als Lösung beider Gleichungen.

Fazit: Dies waren Beispiele für Wurzelgleichungen, die ohne Auflösen der Wurzeln gelöst werden können. Wenn ein Aufgabensteller eine solche Wurzelgleichung konzipiert, hat er sicher auch diesen Lösungsweg intendiert.