Komplexe gleichung lösen

Question

ich soll die Aufgabe berechnen :

iz² − ( 2 + 2i)z − 2 + 3i = 0

Die Lösung ist mir bekannt : 2 - 3 i ; i

Jedoch komme ich egal wie ich es drehe bei der Mitternachtsformel immer auf (2-2i±√-8i-(-12-8i))/2i

Damit komme ich nicht auf die mir geg. Lösung.

Könnte mir jemand den Lösungsweg zeigen bzw. wo ich da aufm Schlauch stehe, da ich einfach nicht drauf komme?

Vielen Dank schonmal! :)

Comments

egal wie ich es drehe  ??

du brauchst doch nur das falsche Vorzeichen bei b umzudrehen

Answer 1

Lösen über pq-Formel

i·z^2 - (2 + 2·i)·z - 2 + 3·i = 0   | * i^3
z^2 + (2·i - 2)·z + (2·i + 3) = 0

x = - p/2 ± √((p/2)^2 - q)

x = (1 - i) ± √((1 - i)^2 - (2·i + 3))
x = (1 - i) ± √(- 4·i - 3)
x = (1 - i) ± (1 - 2·i)
x1 = 2 - 3i
x2 = i

Lösen über Koeffizientenvergleich

i·z^2 - (2 + 2·i)·z - 2 + 3·i = 0
i·(a + b·i)^2 - (2 + 2·i)·(a + b·i) - 2 + 3·i = 0
- 2·(a·(b + 1) - b + 1) + (a^2 - 2·a - b^2 - 2·b + 3)·i = 0
(- 2·a·b - 2·a + 2·b - 2) + (a^2 - 2·a - b^2 - 2·b + 3)·i

- 2·a·b - 2·a + 2·b - 2 = 0
b = (a + 1)/(1 - a)

a^2 - 2·a - b^2 - 2·b + 3 = 0
a^2 - 2·a - ((a + 1)/(1 - a))^2 - 2·(a + 1)/(1 - a) + 3 = 0
a^2·(1 - a)^2 - 2·a·(1 - a)^2 - (a + 1)^2 - 2·(a + 1)·(1 - a) + 3·(1 - a)^2 = 0
(a^4 - 2·a^3 + a^2) - (2·a^3 - 4·a^2 + 2·a) - (a^2 + 2·a + 1) - (2 - 2·a^2) + (3·a^2 - 6·a + 3) = 0
a^4 - 4·a^3 + 9·a^2 - 10·a = 0
a·(a^3 - 4·a^2 + 9·a - 10) = 0
a1 = 0
a2 = 2

b1 = (0 + 1)/(1 - 0) = 1
b2 = (2 + 1)/(1 - 2) = -3

z1 = i
z2 = 2 - 3·i