Grenzwert: lim(n → ∞) ∑ (k = 3 bis n) 3^k / (k - 3)!

Question

Kann mir jemand einen verständlichen Lösungsweg vorschlagen wie man auf 27e³ als Grenzwert kommt?

\( \lim \limits_{n \rightarrow+\infty} \sum \limits_{k=3}^{n} \frac{3^{k}}{(k-3) !} \)

Auf die 27 komm ich... aber woher das e³?

Answer 1

Grenzwert: lim(n → ∞) ∑ (k = 3 bis n) 3^k / (k - 3)!

= lim(n → ∞) ∑ (k = 3 bis n) 3^k / (k - 3)!

= lim(n → ∞) ∑ (k = 0 bis n) 3^{k + 3} / k!

= lim(n → ∞) ∑ (k = 0 bis n) 27 · 3^k / k!

= 27 · lim(n → ∞) ∑ (k = 0 bis n) 3^k / k!

Die Summe ist jetzt gerade die Reihenentwiklung von e^x an der Stelle 3.

= 27 · e^3

Comments

Warum setzt du k=0?

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Um das (k - 3)! zu vereinfachen. Wenn ich das vereinfache steht am Ende nur noch k! dort und das erinnert dann mehr an typische e^x Reihen.