Aufgabe:
Der Intelligenzquotient (IQ) ist inber die Bevölkerung annähernd normalverteilt. Dabei ist er so skaliert, dass der Mittelwert \( \mu \) genau bei 100 liegt und die Standardabweichung \( \sigma=15 \) beträgt. Fertigen Sie für jede Aufgabe eine Skizze an.
a) Wie viel Prozent der Bevölkerung haben einen IQ zwischen 85 und 115?
b) Wie viel Prozent der Bevölkerung sind per definitionem "hochbegabt", haben also einen IQ über 130?
c) Wie viel Prozent der Bevölkerung haben eine IQ zwischen 90 und 120?
Mein Vorschlag zur Lösung:
\( P(85 \leq I Q \leq 115)=F_{I Q}(115)-F_{IQ}(85) \)
\( =\Phi\left(\frac{115-100}{15}\right)-\left(\frac{85-100}{15}\right) \)
\( \approx \Phi(1)-\Phi(-1) \)
\( =\Phi(1)-(1-\Phi(1)) \)
\( =2^{*} \Phi(1)-1 \)
\( \approx 2 * 0,841345-1 \)
\( =0,68269 \rightarrow 68,269 \% \)
\( P(90 \leq IQ \leq 120)=F_{IQ}(120)-F_{IQ}(90) \)
\( =\Phi\left(\frac{120-100}{15}\right)-\left(\frac{90-100}{15}\right) \)
\( \approx \Phi(1, \overline{33})-\Phi(-0,67) \)
\( =\Phi(1, \overline{33})-(1-\Phi(-0,67)) \)
\( =\Phi(0,908241)-(1-0,251429) \)
\( =0,656812 \rightarrow 65,68 \% \)
\( P(I Q \geq 130)=F_{I Q}(130)-F_{I Q}(0) \)
\( =\Phi\left(\frac{130-100}{15}\right)-(0) \)
\( =\Phi(2)-1 \)
\( =0,02275 \rightarrow 2,275 \% \)
