Berechne das maximale Volumen des Quaders!

Question

Maximale Volumen eines Quaders

Was ist das maximale Volumen eines Quaders mit folgenden Abmessungen: 

Länge = 20 - 2x
Breite = 20 - 2x
Höhe = x

Das maximale Volumen ist dann erreicht, wenn die Volumengleichung größtmöglich ist.

Ich soll berechnen bzw. bestimmen:

1. Volumengleichung für den Quader
2. maximales Volumen des Quaders
3. x-Wert, der das Volumen maximiert.

 

Schöne harte Nuss!

lg Jonas

Comments

Sicher, dass das die komplett richtige Aufgabenstellung ist?
Kannst du vielleicht kurz hervorheben, was wirklich die Aufgabenstellung und was deine Überlegungen sind?
Denn ein "Würfel"  hat nur gleich lange Seiten, sodass ein Würfel mit der Seitenlänge 20 cm immer ein Volumen von 8000 cm3 hat, da ist nichts dran zu rütteln.

 

Falls wirklich diese Abmessungen gemeint sind (das würde dann aber nicht zur Aufgabenstellung passen) sieht die Rechnung folgendermaßen aus:

Volumen = Länge * Breite * Höhe

V = (20-2x)*(20-2x)*x

V(x) = 400x - 80x²+4x³

 

Um das maximale Volumen zu bestimmen, musst du ein lokales Extremum dieser Volumengleichung bestimmen:
Das heißt, die Nullstellen der Ableitung finden.

V'(x) = 400-160x+12x²

V'(x) = 0

0 = 400-160x+12x²  |:12

0 = x²-40/3 x + 100/3

 

Das lässt sich jetzt z.B. mit der pq-Formel lösen und besitzt die Lösungen:

x₁=10

x₂=10/3

Zum Beispiel durch Ausprobieren stellst du fest, dass das Maximum dieser Volumenfunktion bei 10/3 liegt und 16000/27 beträgt.

 

Ich wiederhole nochmal: Ich glaube nicht, dass das die tatsächliche Aufgabenstellung ist! Überprüf bitte nochmal, ob das wirklich die Aufgabe ist, die du bearbeiten sollst.

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Da die Seiten unterschiedlich lang sind, ist sehr wahrscheinlich ein Quader gemeint.

Ich habe in der Aufgabe "Würfel" zu "Quader" geändert.

PS: Bitte poste deine Berechnung (also den "Kommentar") entsprechend als Antwort. :)

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Ich befürchte leider immer noch, dass das nicht die Frage ist, die beantwortet werden soll, weil mir keine simple Fragestellung einfällt, die diesen Ansatz zur Folge hat.
Von daher wäre es sinnvoll nochmal die exakte Fragestellung zu schreiben, damit wir sicher gehen können, dass das wirklich die gesuchte Größe ist.

Answer 1

Ich nenne den gesuchten Körper eigentlich Quader, nicht Würfel und fasse die einleitende Frage dahingehend auf, dass die Einheit der Antwort cm resp. cm³ sein muss.

Das Volumen des Quaders V = abc , a,b,c Kantenlängen

1. V(x) = (20-2x)(20-2x)x

2. Das maximale Volumen ist abhängig von x, deshalb zuerst x. 

3. x finden. V(x) ableiten. Erste Ableitung 0 setzen und so x bestimmen. 

3.

V(x) = (400 - 80x + 4x^2) x

V(x) = 400x - 80x^2 + 4x^3

V'(x) = 400 - 160x + 12 x^2 = 0

2.

V(x₁)  = (20-2*10)(20-2*10)*10 = 0 cm³

Ist sicher kein lokales Maximum.

das lokale Maximum muss sich bei x₂ befinden.

V(x₂) = (20-2*3.3333333333)(20-2*3.333333333)*3.33333333333 = 592,59 cm³ ist das maximale Volumen.

3.

x = 3.333333333 cm ist der zugehörige x-Wert