f(x) =? --> suche Funktion die durch 4 bestimmte Punkte geht

Question

ich suche eine Funktion, die durch folgende 4 Punkte geht:

1. (2.2, 6)

2. (3.36,5)

3. (6,4)

4. (8.64,2.5)

 

Wie ist die Lösung?

Wie seid ihr drauf gekommen?

 

  :-)

Answer 1

Der gegebene Wert 6
 an der Stelle x=2.2 liefert die Gleichung:
x * 10.648 + y * 4.84 + z * 2.2 + u = 6

Der gegebene Wert 5 an der Stelle x=3.36 liefert die Gleichung:
x * 37.933056 + y * 11.2896 + z * 3.36 + u = 5

Der gegebene Wert 4 an der Stelle x=6 liefert die Gleichung:
x * 216 + y * 36 + z * 6 + u = 4

Der gegebene Wert 2.5 an der Stelle x=8.64 liefert die Gleichung:
x * 644.972544 + y * 74.6496 + z * 8.64 + u = 2.5

Lösung des Gleichungssystems mit dem Gauss-Algorithmus:
Die Zeile 1 multiplizieren wir mit 37.933056
Die Zeile 2 multiplizieren wir mit 10.648 und können die Zeile 2 von der Zeile 1 abziehen.
403.911180288*x + 183.59599104*y + 83.4527232*z + 37.933056*u = 227.598336
403.911180288*x + 120.2116608*y + 35.77728*z + 10.648*u = 53.24
63.38433024*y + 47.6754432*z + 27.285056*u = 174.358336
Die Zeile 1 multiplizieren wir mit 216
Die Zeile 3 multiplizieren wir mit 10.648 und können die Zeile 3 von der Zeile 1 abziehen.
2299.968*x + 1045.44*y + 475.2*z + 216*u = 1296
2299.968*x + 383.328*y + 63.888*z + 10.648*u = 42.592
662.112*y + 411.312*z + 205.352*u = 1253.408
Die Zeile 1 multiplizieren wir mit 644.972544
Die Zeile 4 multiplizieren wir mit 10.648 und können die Zeile 4 von der Zeile 1 abziehen.
6867.667648512004*x + 3121.66711296*y + 1418.9395968*z + 644.9725440000002*u = 3869.835264
6867.667648512004*x + 794.8689408*y + 91.99872*z + 10.648*u = 26.62
2326.798172160001*y + 1326.9408768*z + 634.324544*u = 3843.215264
Die Zeile 2 multiplizieren wir mit 662.112
Die Zeile 3 multiplizieren wir mit 63.38433024 und können die Zeile 3 von der Zeile 2 abziehen.
41967.525663866865*y + 31566.483048038386*z + 18065.76299827199*u = 115444.74656563197
41967.525663866865*y + 26070.735639674873*z + 13016.098983444477*u = 79446.42659745789
5495.747408363513*z + 5049.664014827515*u = 35998.31996817408
Die Zeile 2 multiplizieren wir mit 2326.798172160001
Die Zeile 4 multiplizieren wir mit 63.38433024 und können die Zeile 4 von der Zeile 2 abziehen.
147482.54374601782*y + 110931.1340946779*z + 63486.81842808324*u = 405696.65750565915
147482.54374601782*y + 84107.25874404637*z + 40206.23637623341*u = 243599.6254767848
26823.875350631526*z + 23280.58205184983*u = 162097.03202887435
Die Zeile 3 multiplizieren wir mit 26823.875350631526
Die Zeile 4 multiplizieren wir mit 5495.747408363513 und können die Zeile 4 von der Zeile 3 abziehen.
1.4741724344049913E8*z + 1.354515580963028E8*u = 9.656144476584514E8
1.4741724344049913E8*z + 1.2794419847664782E8*u = 8.908443436761036E8
7507359.619654983*u = 7.477010398234785E7
Aus der 4-ten Gleichung kann man eine Lösung ablesen: u = 9.95957404073099
Die erhaltene Lösung mal ihren entsprechenden Koeffizienten können wir in jeder Zeile auf der linken und rechten Seite abziehen.
Gleichung 1: 10.648*x + 4.84*y + 2.2*z = -3.95957404073099
Gleichung 2: 63.38433024*y + 47.6754432*z = -97.3891994374913
Gleichung 3: 5495.747408363513*z = -14294.182668315465

Aus der 3-ten Gleichung kann man eine Lösung ablesen: z = -2.6009533565102276
Die erhaltene Lösung mal ihren entsprechenden Koeffizienten können wir in jeder Zeile auf der linken und rechten Seite abziehen.
Gleichung 1: 10.648*x + 4.84*y = 1.7625233435915115
Gleichung 2: 63.38433024*y = 26.612404576661362

Aus der 2-ten Gleichung kann man eine Lösung ablesen: y = 0.419857786236685
Die erhaltene Lösung mal ihren entsprechenden Koeffizienten können wir in jeder Zeile auf der linken und rechten Seite abziehen.
Gleichung 1: 10.648*x = -0.26958834179404434

Aus der 1-ten Gleichung kann man eine Lösung ablesen: x = -0.025318213917547357

Das Gleichungssystem lautet:
x*10.648 + y*4.84 + z*2.2 + u = 6
x*37.933056 + y*11.2896 + z*3.36 + u = 5
x*216 + y*36 + z*6 + u = 4
x*644.972544 + y*74.6496 + z*8.64 + u = 2.5

x=-0.025318213917544314
y=0.4198577862366446
z=-2.600953356510077
u=9.95957404073082

 f(x) = - 0.025318213917544314*x³ + 0.4198577862366446*x² - 2.600953356510077*x + 9.95957404073082

Comments

Wow, super  :-)

Ist das die einzige Möglichkeit oder könnte man noch andere Funktionen finden?

Ich hab beim plotten grad festgestellt, dass die Funktion einen "Knick" macht (wg. x³), kriegt man auch eine Funktion ohne diesen Knick hin, also wie eine Parabel?

---

Einen Knick habe ich keinen gefunden. Ich würde bei einem Polynom auch keinen erwarten. Ein anderer Ansatz wüsste ich gerade nicht.

---

Naja, Knick ist das falsche Wort. Die Kurve macht eine Kurve, wenn du verstehst. was ich meine ^^

Wenn nicht zeig ich's Dir in meinem Geogebra-File :-)

 

Beste Grüße!