Integral von -1bis1 aufspalten

Question

wenn ich ein Integral habe von -1 bis 1, wie muss ich das dann aufspalten?

z.b. bei

∫(von-1 bis 1) (8x^3+3x^2+5x-0) dx

Mir geht es nur darum, wie ich das Integral aufspalten muss, weil ja über 0 integriert wird. Was muss man dabei beachten? Ausrechnen kann ich das Integral nach der Aufspaltung selber. Wie müssen die Integrationsgrenzen dabei gewählt werden?

Comments

Möchtest Du das bestimmte Integral ausrechnen, kannst Du ohne Zerlegung des Intervalls arbeten. Möchtest Du die Größe der Fläche zwischen dem Graph des Integranden und der x-Achse im vorgegebenen Intervall bestimmen, musst Du über Teilintervalle gleichen Vorzeichens integrieren. Da hier x=0 eine Nullstelle des Integranden mit Vorzeichenwechsel ist, hast Du schon die beiden Intervall [-1; 0] und [0; +1]. Eventuell gibt es noch weitere Nullstellen darin, dies muss noch überprüft werden.

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Danke für deine Antwort!

Ich habe bei einer ähnlichen Aufgabe gesehen, dass das Integral von -1 bis -1/2 und -1/2 bis 1 aufgespalten wurde. Kannst du mir sagen, warum das geht?

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Zerlegen geht immer, denn in

$$ \int_{a}^{b}f\left(x\right)\textrm{d}x+\int_{b}^{c}f\left(x\right)\textrm{d}x=\int_{a}^{c}f\left(x\right)\textrm{d}x $$

ist das der Weg von rechts nach links. Die Fragen müssten also lauten: Wann ist das sinnvoll? und: Wann ist es geboten?

Answer 1

∫ 8·x^3 + 3·x^2 + 5·x dx = 2·x^4 + x^3 + 2.5·x^2 + C


Wenn du das bestimmte Integral gegeben, dann wird das einfach über die Stammfunktion gerechnet ohne Aufteilung

∫ (-1 bis 1) f(x) dx = F(1) - F(-1)


Anders wenn nach der Fläche Gefragt ist, den der Graph mit der x-Achse in dem Intervall einschließt. Dann darfst du nicht über die Nullstelle x = 0 hinweg integrieren. Dann rechnet man

| ∫ (-1 bis 0) f(x) dx | + | ∫ (0 bis 1) f(x) dx | = |F(0) - F(-1)| + |F(1) - F(0)|

Comments

Erst mal danke für die Antwort!

Bei dem konkreten Beispiel, was ich gesehen habe, wurde das ∫(von -1 bis 1) (2x+1) in die Grenzen von -1 bis -1/2 und -1/2 bis -1 aufgespalten. Da kommt dann 10/4 raus. Wenn ich es so wie du spalte, kommt aber 2 raus. Was stimmt jetzt? Oder hängt es von der konkreten Fragestellung ab?

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Sommersonne: Das ist von der Fragestellung abhängig. Lies die Antworten von Mathecoach und jd13 nochmals genau durch.

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Das hängt von der Funktion ab

f(x) = 2x + 1 hat wo genau ihre Nullstellen ?

f(x) = 0
2x + 1 = 0
x = - 1/2

Also ist genau an dieser Stelle x = - 1/2 zu trennen wenn man die Fläche haben möchte.

Man darf zur Flächenberechnung nicht einfach über die Nullstellen einer Funktion hinweg integrieren. Also muss man zunächst dann die Nullstellen der Funktion berechnen.

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Jetzt ist es mir klar geworden, wo ich trennen muss.

Answer 2

∫ f( ) dx = 0  !! Ansonsten Grenzen einsetzen .