Vollständige Induktion: Zeige ∑(von k=1 bis n) (k/(2k)) = 2- ((n+2)/2n)

Question

Komme bei der Aufgabe einfach nicht weiter:

∑(von k=1 bis n) (k/(2^k)) = 2- ((n+2)/2^n)

Comments

(k+1)/2^{k+1} = (k/2^k + 1/2^k)/2

Answer 1

∑ (k = 1 bis n) (k/(2^k)) = 2 - (n + 2)/2^n


Zeige das es für n = 1 gilt

(1/(2^1)) = 2 - (1 + 2)/2^1
1/2 = 1/2


Zeige des es für n + 1 gilt, wenn es für n gilt.

∑ (k = 1 bis n + 1) (k/(2^k)) = 2 - ((n + 1) + 2)/2^{n + 1}

∑ (k = 1 bis n) (k/(2^k)) + ((n + 1)/(2^{n + 1})) = 2 - ((n + 1) + 2)/2^{n + 1}

2 - (n + 2)/2^n + ((n + 1)/(2^{n + 1})) = 2 - ((n + 1) + 2)/2^{n + 1}

Nun formst du das so lange um das auf beiden Seiten das gleiche steht. Das sollte dir hoffentlich nicht schwerfallen.

Comments

Jetzt habe ich meinen Fehler gefunden. Die linke Seite war bei mir völlig falsch. Der Rest ist jetzt kein Problem mehr.