Es gibt die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen, die irrationale Zahlen und die reelle Zahlen. Aber tatsächlich gibt es noch die komplexe Zahlen, die sowohl die natürlichen, als auch die reellen Zahlen enthält.
$$\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R \subset \mathbb C$$
Die komplexen Zahlen sind mit folgender Gleichung entstanden: x2 + 1 = 0 ⇔ x2 = -1. Gesucht ist also eine Zahl x deren Quadrat -1 ergibt. Das wird zu einem Problem:
| -5 | $$\rightarrow x^2$$
| 25 |
| -4 | $$\rightarrow x^2$$ | 16 |
| -3 | $$\rightarrow x^2$$
| 9 |
| -2 | $$\rightarrow x^2$$ | 4 |
| -1 | $$\rightarrow x^2$$ | 1 |
| 0 | $$\rightarrow x^2$$ | 0 |
| 1 | $$\rightarrow x^2$$
| 1 |
| 2 | $$\rightarrow x^2$$ | 4 |
| 3 | $$\rightarrow x^2$$ | 9 |
| ... | ... | … |
Keine Zahl will gleich -1 sein, und logischerweise kann auch keine reelle Zahl quadriert -1 ergeben. Daher wurde eine neue Zahl erfunden, die sog. imaginäre Zahl:
$$\Large{\texttt{Definition 1:}}$$
$$i^2 := -1 \Rightarrow i = \sqrt{-1} \text{, i ist die imaginäre Einheit/Zahl.}$$
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Und mittels der imaginäre Einheit i lässt sich ganz neuer Zahlenkörper definieren:
$$\Large{\texttt{Definition 2:}}$$
$$\mathbb C := \{ z = x + i \cdot y \quad | \quad x,y \in \mathbb R \} \quad \text{, das ist der Körper der komplexen Zahlen.} \text{ Man nennt } x = \Re(z) \text{ den Realteil von z und } y = \Im(z) \text{ den Imaginärteil von z.}$$
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Beispiel: $$\text{}$$Die komplexe Zahl z = 3 + 4 i hat den Realteil R(z) = 3 und den Imaginärteil Im(z) = 4. Die komplexe Zahl z = 32 - 16 i hat den Realteil R(z) = 32 und den Imaginäteil Im(z) = -16.
Bezeichnungen:
In der Technik oder Physik wird anstatt i oft auch j abgekürzt. Eine komplexe Zahl wird meistens mit z bezeichnet und der Real- und Imaginärteil mit x und y. Eine komplexe Zahl, deren Imaginärteil 0 ist (z = x + i y = x + i*0 = x) eine reelle Zahl, daher ist jede reelle Zahl gleichzeitig eine komplexe Zahl. Eine komplexe Zahl, deren Realteil 0 ist (z = x + i y = 0 + i y = i y) eine sog. rein-imaginäre Zahl.
$$\Large{ \texttt{Definition 3:}}$$ $$\text{ 2 komplexe Zahlen } z_1 = x_1 + i y_1 \text{ und } z_2 = x_2 + i y_2 \quad \text{ sind genau dann gleich, wenn ihre Real- und Imaginärteile gleich sind, sprich: }\quad x_1 = x_2 \text{ und } y_1 = y_2$$
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Beispiel:
$$z_1 = \pi + \frac{2}{3} i$$ $$z_2 = \pi + \sqrt{\frac{4}{9}} i = \pi + \frac{2}{3}i$$ $$z_3 = \pi + \frac{1}{4} i$$ Nur z1 und z2 sind gleich.
Man kann natürlich auch bei den komplexen Zahlen mit +,-,*,÷ rechnen:
Grundrechenarten:
$$\text{Plus:} \quad \left( x_1 + y_1 \cdot i \right) + \left( x_2 + y_2 \cdot i \right)=(x_1 + y_1) + (y_1 + y_2) \cdot i$$ $$\text{Minus:} \quad \left(x_1 + y_1 \cdot i \right)-\left( x_2 + y_2 \cdot i \right) =(x_1 - x_2) + (y_1 - y_2) \cdot i $$ $$\text{Mal:} \quad (x_1+y_1 \cdot i) \cdot (x_2+y_2 \cdot i) = x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot y_2 \cdot i + y_1 \cdot i \cdot x_2 + y_1 \cdot i \cdot y_2 \cdot i = (x_1 x_2 - y_1 y_2) +(x_1 y_2+ y_1 x_2) i \text{, also ausmultiplizieren.}$$ $$\text{Durch:} \quad \frac{x_1 + y_1 \cdot i}{x_2 + y_2 \cdot i} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{x_2^2 + y_2^2} + i \cdot \frac{x_2 y_1 - x_1 y_2}{x_2^2 + y_2^2}$$
Aufgaben:
$$(1+\sqrt{2} i) + (-1 - \sqrt{2}) = ... \text{(Achtung: Im 2. Summanden ist kein i )}$$ $$ (6 - 24 i) - (9 + 9 i) = ...$$
$$(7 - 2 i) \cdot (7 + 3 i) = ... $$ $$(6 + 4/3 i) \cdot (4 - 1/7 i) = ... $$
$$\frac{2 - 2 i}{5 - 3i} = ... $$ $$\frac{7 - 5i}{90 + 91i} = ... $$
$$\text{Gemischt:} \quad \frac{(2 + (a - 4i) \cdot 5i)}{2+5 i}$$
Das war die Einführung
Das sollte eine kleine Einführung sein, für Leute die vielleicht einfach wissen wollen was komplexe Zahl überhaupt sind. Fürs Vertiefen finde ich das hier verständlich und übersichtlich :-)
