Beweis für geometrische Reihen ∑q^k = (1-q^{n+1}) / (1-q)

Question

warum verschwindet q^k?
und warum plötzlich das q^{n+2}.
danke

EDIT: Zu zeigen ist:∑q^k = (1-qⁿ⁺¹) / (1-q) Summenformel für geometrische Reihen.

Comments

Warum funktioniert das mit dem bild nicht?

---

Um welchen Beweis geht es?

---

Mehr dazu auch hier:

https://www.mathelounge.de/12428/wie-schreibe-ich-hier-die-vollstandige-induktion-auf-1-q-2-q-n

Answer 1

∑ q^k =   1+ q+q² +q³ ...       für q∈ℝ !
Partialsumme  s_n = 1+q+    .... qⁿ   , für q= 1 ist  s_n = 1+1+.....1 → n+1 !! Die Reihe für q=1 konvergiert nicht .
Ist q ungleich 1 , dann s_n 1+q +q²... qⁿ  und qs_n = q + q² ....qⁿ +qⁿ⁺¹  ,beide Gleichungen Differenz bilden ---->
(1-q) s_ⁿ  = 1-q ⁿ⁺¹ , damit gilt für  IqI <1   lim qⁿ = 0.
Daraus folgt ∑ q^k = 1/ 1-q  für q <1 !

Comments

Setze zum Schluss noch eine Klammer, damit das eindeutig ist. 

∑ q^k = 1/ (1-q) für |q|<1

---

danke

den einen schritt verstehe ich nciht

∑q^k = 1-qⁿ⁺¹ / (1-q)

jetzt n +1

_{n+1      n}

∑q^k  + ∑ q^k + qⁿ⁺¹ = 1-qⁿ⁺¹ / (1-q) = ( 1-qⁿ⁺¹ +q^{n+1 -} qⁿ⁺²)   / (1-q) = 1-qⁿ⁺² / (1-q)

^{k=1      k=1}

warum genau ist das so?

und warum ist das ein beweis?

freundliche grüße

immai

---

immai: Da fehlen ein paar Klammern im Induktionsschritt: n---> n+1

∑q^k = (1-qⁿ⁺¹) / (1-q)

jetzt n +1

_{n+1      n} 

∑q^k  = ∑ q^k + qⁿ⁺¹           | Induktionsvoraussetzung verwenden

^{k=1      k=1}

= (1-qⁿ⁺¹) / (1-q) + q^{n+1}          |gleichnamig machen

= (1-qⁿ⁺¹) / (1-q) + (q^{n+1} (1-q)) / (1-q)        |ausmult.

= (1-qⁿ⁺¹) / (1-q) + (q^{n+1}-q^{n+2})) / (1-q)        |Bruchaddition

= ( 1-qⁿ⁺¹ +q^{n+1 -} qⁿ⁺²)   / (1-q) 

= (1-qⁿ⁺²) / (1-q)

Warum ein Induktionsschritt zu einem Induktionsbeweis gehört, sollte aus der Theorie dazu klar sein.

Eine Verankerung brauchst du auch.