Konvergenz der Folge: a_{n} = (2n - 1) / (n^2 - n + 4)

Question

Aufgabe:

Die Folge \( a_n \) ist definiert durch \( a_{n}=\frac{2 n-1}{n^{2}-n+4} \).

a) Man zeige: Die Folge ist konvergent.

b) Man berechne den Index n₀ , für den alle Folgenglieder in einer ε - Umgebung des Grenzwertes liegen.

ε = 0.01

Answer 1

an = (2n - 1) / (n^2 - n + 4)

lim (n → ∞) (2n - 1) / (n^2 - n + 4)

lim (n → ∞) (2 - 1/n) / (n - 1 + 4/n) = 2 / ∞ = 0

Der Grenzwert der Reihe ist also 0.(2n - 1) / (n^2 - n + 4) = 0 + 0.01
2n - 1 = 0.01(n^2 - n + 4)
2n - 1 = 0.01·n^2 - 0.01·n + 0.04
200n - 100 = n^2 - n + 4
n^2 - 201n + 104 = 0
n = 200.4812482

n0 = 201
Ab a201 liegen alle Folgeglieder in der Epsilon-Umgebung.

Comments

Es kommen eigentlich zwei Wurzeln raus !

x1 = 200,481 und x2 = 0,51

Kannst du mir vielleicht sagen , warum hast du eigentlich n0= 201 genommen ?


!

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Weil erst bei einem ganzen n nach 200.5 das an in der epsilon umgebung liegt.