Fläche zwischen f(x)=(x-1)^3+1 ung g(x)=x

Question

hab da mal eine Frage: wenn ich nun die beiden integriere bekomm ich für die Fläche bei [0;2]

f(x)=2

und für

g(x)=0

heraus.

bin nun aber drauf gekommen, dass das falsch ist und ich die Intervelle von [0;1] und [1;2] nehmen muss.

daher meine FRage: wann muss ich von Schnittpunkt zu Schnittpunkt rechen und dann kann ich vom ersten Schnittpunkt bis zum letzten rechen?!

Danke :)

Answer 1

Der Graph sieht folgendermaßen aus

Du mußt also zwischen ( 0 und 1 ) und ( 1 ..2 )
getrennt integrieren. Die Beträge ( Absolut-Werte )
dann addieren.

mfg Georg

Comments

Zwischen 0 und 1 gilt
Stammfunktion
∫ f ( x ) - g ( x ) dx
∫ ( x -1 )^3 - x dx
S ( x ) = 3 * ( x -1)^2 - x^2/2
Integralfunktion
I ( x ) = [ S ( x ) ]₀¹
[ 3 * ( x -1)^2 - x^2/2 ]₀¹
[ 3 * ( 1 -1)^2 - 1^2/2 - ( 3 * ( 0 -1)^2 - 0^2/2 ) ]
- 1/2 - 3
I ( x ) = - 3.5
Fläche
| -3.5 | = 3.5

Dasselbe für  das Intervall 1..2 durchführen und beide
Flächen addieren.

mfg Georg

Answer 2

Allgemein gilt: Obere Funktion - Untere Funktion. Als Beispiel: f(x) - g(x); Zum Anfang ist f(x) obere Funktion.

An dem Punkt, wo f(x) nicht mehr die obere der beiden Funktionen ist (Also ab dem Schnittpunkt der zwei Funktionen) muss gelten: g(x) - f(x), da f(x) nun die untere Funktion ist.

Grüße Florean :-)

Comments

Hallo Florean,

man kann auch nur eine Differenzfunktion ermitteln
und dann das Ergebnis der Integralfunktion positiv
setzen ( Betrag oder absolut ).
Damit ist die Fläche immer positiv. Siehe meine
Antwort.
mfg Georg