Extremwerte bestimmen bei Funktionen mit 2 Variablen, Stationäre Punkte

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Extremwerte bestimmen bei Funktionen mit 2 Variablen, Stationäre Punkte

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Zitat: "Was muss y laut der 2. Gleichung sein. Gibt hier 2 Möglichkeiten. Was folgt dann für die erste Gleichung daraus."

$$ 12xy-{ 6y }^{ 2 }=\quad 0\quad \quad /-12xy\\ -{ 6y }^{ 2 }=\quad -12xy\quad \quad /:(-12)\\ \frac { 1 }{ 2 } { y }^{ 2 }=\quad xy\quad \quad \quad \quad /:y\\ \frac { 1 }{ 2 } y\quad =\quad x\\ \\ $$

Dann hab ich das in df/dx eingesetzt:

$$ 3*\left( { \frac { 1 }{ 2 } y } \right) ²\quad +\quad 6y²-12\quad =\quad 0\\ 3*\frac { 1 }{ 4 } { y }^{ 2 }+6y²-12\quad =\quad 0\\ \frac { 3 }{ 4 } y²+6y²-12\quad =\quad 0\\ 6,75y²-12\quad =\quad 0\quad \quad /-6,75y²\\ -12=\quad -6,75y²\quad \quad \quad /:(-6,75)\\ 1,7\quad =\quad y²\quad \quad \quad \quad \quad \quad /\sqrt { } \\ \sqrt { 1,7 } =\quad y\\ \frac { 4 }{ 3 } =\quad y\\ $$

Und dies dann wieder in das erste was ich raus hatte, also in x = (1/2)y:

$$ x=\frac { 1 }{ 2 } *\frac { 4 }{ 3 } \\ x=\quad \frac { 2 }{ 3 } $$

Dann habe ich nur ein Teil von vier möglichen fertig. x=(2/3) und y=(4/3).

Aber wie komme ich auf:

x = 2 ∧ y = 0

x = -2 ∧ y = 0

x = - 2/3 ∧ y = - 4/3

Bin ich generell richtig vorgegangen? Hab eine von beiden Funktionen Nullgesetzt um x oder y rauszubekommen, diesen Wert dann in die andere eingetzt, dann eine Zahl rausbekommen und diese wieder in die erste eingesetzt um dort auch eine Zahl zu bekommen. Dann habe ich aber nur eine Stelle berechnet und nicht alle vier.

Bitte um weiter Hilfe

Kommentiert 21 Aug 2014 von McFurok

Zitat:

"

Beginne nochmals hiermit

6·y·(2·x - y) = 0 Dieses Produkt ist 0.

also gilt entweder 6y = 0 ==> y = 0. (1. Fall beim Einsetzen in die 1. Gleichung)

oder es gilt 2x - y = 0 ==> y = 2x (2. Fall beim Einsetzen in die 1. Gleichung).

"

Okay das klingt logisch für mich dankeschön. Dann hab ich jetzt für y=0 in df/dx eingesetzt:

$$ 3x²+6*(0)-12\quad =\quad 0\\ 3x²-12\quad \quad \quad \quad \quad \quad =\quad 0\quad \quad \quad /+12\\ 3x²\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad =12\quad \quad \quad /:3\\ x²\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad =\quad 4\quad \quad \quad \quad /\quad \sqrt [ +- ]{ } \\ x\qquad \qquad \qquad =\quad \sqrt [ +- ]{ 4 } \\ \\ { _{ }{ x }_{ 1 } }\quad \quad =\quad +\sqrt { 4 } =\quad 2\\ { _{ }{ x }_{ 2 } }\quad =\quad -\quad \sqrt { 4 } =\quad -2\\ $$

Und nun für y=2x:

$$ 3x²+6*(2x)-12\quad =\quad 0\quad \quad /\quad Hier\quad würde\quad ich\quad die\quad quadratische\quad Ergänzung\quad machen\quad /3\\ x²+4x-4\quad =\quad 0\\ \\ (x+2)²\quad -8=\quad 0\quad \quad /+8\\ (x+2)²\quad \quad \quad =\quad 8\quad \quad /\quad +-\sqrt { } \\ x+2\quad \quad \quad \quad \quad =\quad +-\sqrt { 8 } \quad \quad /-2\\ x\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad =\quad +-\sqrt { 8 } -2\\ \\ Das\quad ergibt\quad jetzt\quad aber\quad leider\quad nicht\quad \frac { 2 }{ 3 } /-\frac { 2 }{ 3 } \quad und\quad \frac { 4 }{ 3 } /-\frac { 4 }{ 3 } $$

Zitat: "

Weiter zu deiner Rechnung

1.7 = y² |√

±√1.7 = y_1,2 Hier verlierst du eine weitere Lösung."

Okay danke.

Was würde ich denn machen wenn sowas hier nicht möglich ist um es eindeutig zu sehen:

df/dy = 12·x·y - 6·y² = 6·y·(2·x - y)?

Kommentiert 21 Aug 2014 von McFurok

Ach verdammt, hab den Fehler gefunden!

$$ 3x²+6∗(2x)−12=0\\ Hier\quad ist\quad der\quad fehler\quad sry\quad Leute...da\quad muss\quad ja\quad (2x)²\quad hin\quad und\quad dann\quad kommt\quad das\quad mit\quad x=\quad \frac { 2 }{ 3 } /\quad -\frac { 2 }{ 3 } \quad hin.\\ \\ Dann\quad nurnoch\quad einsetzen\quad in\quad y=\quad 2x\quad und\quad es\quad kommt\quad -\frac { 4 }{ 3 } /\quad \frac { 4 }{ 3 } \quad raus.\\ Dankeschön\quad für\quad eure\quad Hilfe!!! $$3x²+6∗(2x)−12=0Jetzt bleiben mir nurnoch 2 Fragen offen:

1.) Was ist wenn diese Umformung nicht möglich ist aus irgendwelchen Gründen, weil die Funktion so doof ist oder so:
df/dy = 12·x·y - 6·y² = 6·y·(2·x - y)?

2.) Welchen von den 4 Punkten soll ich für die weiteren Brechnungen nehmen, woran seh ich das?

Danke nochmal, ich habs fast geschafft!!

Kommentiert 21 Aug 2014 von McFurok

Online kenne ich auf die Schnelle auch nichts Schlaues.

Wenn du dazu gar nichts in deinen Unterlagen hast, sollte das auch nicht nötig sein bei euren Übungen.

der Kurs heißt einfach Mathe 2 und ja habe ich. ich hab dann -16 und16 und -5,3 und 5,3 raus. Leider weiß ich nicht was mir das sagen soll.

Lies nochmals ganz genau eure Fragestellung. Steht da exakt:

Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktion: f(x;y) = x³+6xy²-2y³-12x ?

Wenn ja, dann wäre in der Fragestellung schon gesagt, dass es 2 Extremwerte gibt. Und die müssten dann + und - 16 sein.Aber: Ich das können nicht die globalen Extremwerte sein, da die Funktion weder nach oben noch nach unten beschränkt ist. Exakt diese Fragestellung könntest du mit + und minus unendlich beantworten.

Kommentiert 21 Aug 2014 von Lu

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Gast · Answer 1 · 2015-05-05T17:47:00+0000

f ( x ; y ) := x ³+ 6 x y ²- 2 y ³- 12 x ( 1 )

f_x ( x ; y ) = 3 ( x ² + 2 y ² - 4 ) = 0 ( 2 )

( 2 ) ist die Gleichung einer ===> Ellipse

( x/a ) ² + ( y/b ) ² = 1 ( 3a )

a = 2 ; b = sqr ( 2 ) ( 3b )

f_y ( x ; y ) = 6 ( 2 x y - y ² ) = ( 4a )

= 6 y ( 2 x - y ) ( 4b )

Die Antwort ist LMNtar geometrisch; einerseits hast du die Scheitel der Ellipse:

P1;2 = -/+2 ( 1 | 0 ) ( 5 )

Und dann sind da die Schnittpunkte von Ellipse ( 2 ) mit der Geraden y = 2 x aus ( 4b )

x ² + 8 x ² = 4 ( 6a )

P3;4 = -/+ 2/3 ( 1 | 2 ) ( 6b )

f_xx ( x ; y ) = 6 x ( 7a )

f_xy ( x ; y ) = 12 y ( 7b )

f_yy ( x ; y ) = 12 ( x - y ) ( 7c )

Gut; den ggt 6 lass ich jetzt mal weg. Dann lautet die Hessematrix für P1;2

-/+ 2 0

0 -/+ 4

Diese Hessematrix ist bereits diagonal; P1 stellt ein Maximum dar und P2 ein Minimum. Und in P3;4 spare ich mir zusätzlich diesen Vorfaktor 2/3

-/+ 1 -/+ 4

-/+ 4 +/- 2

Auf jeden Fall ist die Determinante negativ ===> SP

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