Ganzrationale Funktionen bestimmen. Glatter (=knickfreier) Übergang

Question

Hallo miteinander,

Ich brauche eure Hilfe. Wie ihr vielleicht schon ahnt werden demnächst die ersten Klausuren in Mathe geschrieben ._. und wir haben eine Übung dazu bekommen, die ich schon ziemlich schwierig finde. Vom ersten Blatt kommt nur 1 a und b in der Klausur vor, dann Aufgabe 2 ganz und Aufgabe 3 a und b. Die anderen Aufgaben habe ich erledigt. Bei 1a habe ich auch dazu etwas gezeichnet, zur Lösung bin ich aber nicht gekommen...

Ich hoffe ihr könnt mir helfen...

glatter, knickfreier " Übergang an einer Stelle x_{0}

\( f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right) \quad \) gleiche Funktionswerte

\( f'\left(x_{0}\right)=g^{\prime}\left(x_{0}\right) \quad \) gleiche Steigung

für einen, krümmungsruckfreien" Übergang auch

\( f^{\prime\prime}\left(x_{0}\right)=g^{\prime \prime}\left(x_{0}\right) \quad \)

gleiches Krümmungsverhalten

Aufgabe 1

In den folgenden Situationen sollte gute, "knickfreie" Übergangsbögen zwischen A und B gefunden werden. In d) soll dieser Bogen durch den weiteren Punkt C verlaufen. Bestimme jeweils einen passenden Funktionsterm.

 Aufgabe 2

Von einer Garage aus soll eine Auffahrt zur Straße angelegt werden. Der Höhenunterschied beträgt 0,5 m. Die Auffahrt soll in A "glatt" beginnen und in C "glatt" in die Straße einmünden.

a) Beschreibe die Auffahrt durch eine ganzrationale Funktion niedrigsten Grades.

b) Zwischen A und B beginnt 1 m vor C eine 30 cm hohe Festplatte. Wird sie überdeckt?

Das nebenstehende Bild zeigt den stark vereinfachten Verlauf einer Metallrutsche für Spielplätze. Das seitliche Profil der rutsche soll durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion modelliert werden und durch deren Extrempunkte begrenzt sein.

a) Bestimmen Sie einen geeigneten Funktionsterm.

b) Der TÜV forder von den Herstellern, dass Spielplatzrutschen an keiner Stelle steiler sein dürfen als 50° (gegen die Horizontale). Entspricht die Rutsche dieser Anforderung?

c) Zusatzaufgabe: Entwerfen Sie eine 4m hohe Rutsche, deren Steigung an der steilsten Stelle genau 45° beträgt.

Memo: Zusammenhang zwischen Steigung und Steigungswinkel an einer Stelle x₀= m = f'(x₀) = tan α

    

Answer 1

Bei 1a könnte
2 * sin ( x - π /4 - π ) das gesuchte Teilstück sein
1b.)
Ich kann auf der Grafik nur einen Punkt A und einen
Punkt B mit weiterführender Gerade erkenn.
Die Steigung im Punkt A kenne ich nicht.

mfg Georg

Ich habe mir gerade kurz die 2.Aufgabe angeschaut
Vielleicht
f ( x ) = a * x^2 + b * x + c
f ( 0 | 0 )
f ( 5 | 1 )
In der Mitte eine Steigung von 45 ° oder
f  ´ ( 2.5 ) = 1

zu Aufgabe 3
Der obere und untere Punkt sollen die Extremstellen
der Funktion sein; also Steigung = 0.
Auf dem Bild sieht die Steigung am oberen Punkt nach 0 aus;
am unteren Punkt aber nach mehr aus ?

Die Aufgaben fallen unter ganzrationale Funktionen.
Soll die Aufgabe 1a damit auch modelliert werden ?

Comments

Ich weiß nicht so ganz ob deine Antwort richtig ist... Denn sowie deine Lösung habe ich nicht gerechnet, Der_Mathecoach auch nicht..

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Ich denke schon das meine Antwort für 1a eine mögliche
Antwort ist.
Nach Durchsicht deiner Bilder ist anzunehmen das ganzrationale
Funktionen als Lösungen erwartet werden.
Der Mathecoach hat die Bedingungen aufgeschrieben.
Deine Antwort zu 1a.) ist korrekt.
Ist man sich bei der Lösung nicht sicher kann die sogenannte
PROBE gemacht werden indem man die Lösung in die
Ausgangsannahmen einsetzt.
Bei 1b.) habe ich dem Mathecoach auch noch eine Frage
gestellt.
Die anderen Aufgaben werde ich heute noch berechnen.
mfg Georg

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Die anderen Aufgaben werde ich heute noch berechnen. 

@georgborn

Die Mühe kannst du dir natürlich machen. Man kann die Bedingungen auch auf die Seite eingeben, die ich unten genannt habe. Auf ein Copy und Paste der Lösungen habe ich hier verzichtet.

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@mathecoach. zur Information : ich will die Fragen einmal zum
Anlass nehmen  in meinem Matheprogramm ( Mupad ) nachzusehen
ob es einen Programmteil gibt mit dem Gleichungssysteme direkt
berechnet werden können.

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Die für 1a angegebene Formel
2 * sin ( x - π /4 - π )
war nicht ganz richtig. Es muß heißen
2 * sin ( x * π /4 - π )
Hier der Graph

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1b.) f ( x ) = - x^3 / 27 + 2*x^2 / 9 + 5*x/9 + 8/27

Aufgabe 2.)
f ( 0 ) = 0
f ´( 0 ) = 0
f ( 5 ) = 0.5
f ´ ( 5 ) = 0
Müßte berechenbar sein.
Falls du den Funktionsterm berechnet hast
kann ich du Zusatzfrage auch beantworten.

Aufgabe 3.)
f ( 0 ) = 4
f ´( 0 ) = 0
f ( 4 ) = 0

Die Rutsche scheint mir wesentlich steiler zu sein
50 °.
Was meinst du ?

Answer 2

Ich stelle nur mal die mathematischen Bedingungen auf.

1 a)

f(-2) = 2
f'(-2) = 0
f(2) = -2
f'(2) = 0

1 b)

f(-1) = 0
f'(-1) = 0
f(2) = 2
f'(2) = 1

1 c)

f(-1) = 1
f'(-1) = -1
f(1) = 1
f'(1) = 1

1 d)

f(0) = 4
f'(0) = -1
f(2) = 1
f(4) = 0
f'(4) = -1

Die Anzahl der Bedingungen legt dabei auch den Grad der Funktion fest. n Bedingungen haben meinst eine Funktion vom Grad (n - 1)

Die folgende Seite hilft dir dabei das Gleichungssystem und die Lösung zu bestimmen

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Comments

Der nächste Schritt ist jetzt also sich zu überlegen welchen Grad die Funktion haben muss. Dann erstmal die allgemeine Funktionsgleichung und die Ableitung davon zu notieren und dann mit den obigen mathematischen Bedingungen ein lineares Gleichungssystem zu ermitteln.

Als nächstes solltest du dann das lineare Gleichungssystem lösen und die passende Funktionsgleichung notieren. Im letzten Schritt skizzierst du dann die erhaltene Funktionsgleichung über eine Wertetabelle.

Der Graph sollte dann die Punkte wie gewünscht verbinden. Ansonsten hat man irgendwo einen Fehler gemacht.

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Danke, das habe ich so versucht:

Für a) habe ich: f(x)=0,125x³-1,5x

Da habe ich aber diese Bedingungen genommen:

f(-2)=2, f(2)=-2, f(0)=0 und f '(-2)=0

Bei b komm ich nicht weiter....

Wäre auch nett, wenn du mir bei den anderen Aufgaben (2 und 3) helfen könntest...

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@mathecoach

bei Aufgabe 1b nimmst du für die Steigung im Punkt A null an.
Ich sehe auf der Skizze ( in schlechter Qualität ) nur 1 Punkt A.
Wie kommst du auf f ´( -1 ) = 0.

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@HC POWER

Wo kommst du bei b nicht weiter ?

@georgborn

Eventuell siehst du das vor dem Punkt die x-Achse etwas anders gefärbt ist. Ich nehme also für die Aufgabe an das wir die Gerade davor nur nicht sehen können, weil sie sich auf der Achse befindet.

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3.

f(0) = 4
f'(0) = 0
f(4) = 0
f'(4) = 0

Lösung: f(x) = 0.125·x^3 - 0.75·x^2 + 4

f'(2) = -1.5
ARCTAN(f'(2)) = -56.30993247

Da f'(2) jetzt -1.5 ist muss man die Rusche horizontal um den Faktor 1.5 verlängern. Damit wird die Rutsche horizontal gesehen 6 m lang.