Umformen eines Bruches in einer Bruchgleichung: (x-1)/(3-x) = - (x-1)/(3-x)

Question

Für nachfolgend angegebene Bruchgleichung muss der Hauptnenner gefunden werden:

$$5 - \frac { 4 } { 2 x - 6 } = \frac { 13 x + 7 } { 2 x } + \frac { x - 1 } { 3 - x }$$

Die Musterlösung hat folgendes als ersten Schritt angegeben:

$$5 - \frac { 4 } { 2 x - 6 } = \frac { 13 x + 7 } { 2 x } - \frac { x - 1 } { x - 3 }$$

Mir geht es speziell um die Umformung von diesem Teil der Gleichung:

$+ \frac { x - 1 } { 3 - x }$ wird zu $- \frac { x - 1 } { x - 3 }$

Wie geht das? Warum verändert sich der Zähler nicht?

Vielleicht schafft es eine gute Seele dieses dahinterliegende Prinzip zu erklären.

Answer 1

Also deine Umformung ist nichts anderes als eine Erweiterung mit -1. Hier Schritt für Schritt (ist eigentlich selbsterklärend):

$$+\frac { x-1 }{ 3-x } =+\frac { -1(x-1) }{ -1(x-3) } = \color{#F00}{+} \frac { \color{#F00}{-}x+1 }{ -x+3 } = \color{#F00}{-}\frac { x-1 }{ -x+3 } =-\frac { x-1 }{ 3-x }$$

Hier noch die Lösung für deine Bruchgleichung:

$$5-\frac { 4 }{ 2x-6 } =\frac { 13x+17 }{ 2x } +\frac { x-1 }{ 3-x } \\ 5-\frac { 4 }{ 2x-6 } =\frac { 13x+17 }{ 2x } -\frac { x-1 }{ x-3 } \quad \quad \quad | zusammenfassen \\ \frac { 5(2x-6) }{ 2x-6 } -\frac { 4 }{ 2x-6 } =\frac { (x-3)(13x+17) }{ 2x(x-3) } -\frac { 2x(x-1) }{ 2x(x-3) } \\ \frac { 50x-30 }{ 2x-6 } -\frac { 4 }{ 2x-6 } =\frac { 13x^{ 2 }-22x-51 }{ 2x^{ 2 }-6 } -\frac { 2x^{ 2 }-2x }{ 2x^{ 2 }-6 } \\ \frac { 50x-34 }{ 2x-6 } =\frac { 11x^{ 2 }-20x-51 }{ 2x^{ 2 }-6 } \quad \quad \quad \quad \quad \quad | \text{ mit 2x-6 erweitern } \\ 50x-34=11x^{ 2 }-20x-51\quad \quad \quad \quad \quad \quad | +51-50x \\ 17\quad =\quad 11x^{ 2 }-70x$$

Hier komme ich nicht weiter, ich weiss nicht, ob ich einen Fehler gemacht habe.

Ich hoffe, ich konnte helfen und du verstehst es jetzt!

Comments

Die Multiplikation mit (-1) habe ich auch vermutet. Jetzt ist alles klar!

Was die Lösung angeht:

Hauptnenner: 2 * x * (x-3)

→ Gleichung mit Hauptnenner multiplizieren:

$$5 · 2 · x · ( x - 3 ) - 4 · x = ( 13 x + 7 ) · ( x - 3 ) - 2 x · ( x - 1 )$$

Zusammenfassen:

$$x ^ { 2 } + 4 x - 21 = 0$$

Führt zu:

$$x _ { 1 } = 3 \text { und } x _ { 2 } = - 7$$