ln (x) Berührungspunkt mit Parabel bestimmen

Question

Die Aufgabe lautet:

Zeigen sie das die Parabel

x²/2e  die Funktion y=ln (x) berührt. Lösungsansatz ist ja normalerweise einfach gleichsetzen. Aber irgendwie bringt mir das nicht weiter habe ich das Gefühl.

Nach Umformungen könnte man schreiben:

x² = 2e*ln(x) oder auch ln (x)^2e

ln(e)=1 wird mir hier glaube ich auch nicht weiterhelfen. Also wie komme ich hier an die Lösung?

Answer 1

f(x) = x^2/(2·e)
f'(x) = x/e

g(x) = ln(x)
g'(x) = 1/x

Wenn sich zwei Graphen berühren dann haben sie einen Punkt gemeinsam und in dem Punkt die gleiche Steigung.

f'(x) = g'(x)
x/e = 1/x
x = ± √e

f(√e) = 1/2
g(√e) = 1/2

g(x) ist für negative x nicht definiert. Daher kann -√e keine Lösung sein.

Comments

Da ärgert man sich doch das man im Nachhinein auf eine so simple Lösung nicht gekommen ist. Aber welche Aufgabe ist mit Lösung im Nachhinein nicht "simpel" haha. Super, danke dir !