Ich soll beweisen, dass die Summe(k=1 bis n) von 1/k! <= 2- (1/n)

Question

Ich soll folgendes beweisen:

$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ k! } \le 2-\frac { 1 }{ n }  } $$

Ich dachte ich schätze die Summe nach oben ab, aber ich finde nichts, was gescheit dazwischen passt.

Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben. Dank im Voraus.

MfG

Comments

Hat du schon einmal versucht das mit vollständiger Induktion zu beweisen?

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Analysis ist nicht gerade meine Stärke, aber folgendes hab ich bis jetzt hinbekommen (vielleicht kriegt jemand ja dadurch eine Idee):

Es gilt \(\frac{1}{k!} \leq \frac{1}{2^{k-1}}\) (kann man leicht z.B. mit Induktion beweisen).

$$ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!}  \leq  \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{k-1}} = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2^{k}} = \frac{1- \frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2}} = 2 - \frac{2}{2^n} = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}~. $$

Und wegen \(\frac{1}{2^{n-1}} \leq \frac{1}{n}\) gehts nicht mehr weiter.

Answer 1

Vielleicht kann man es wie folgt zeigen

Σ (k = 1 bis n) (1/k!) ≤ 2 - 1/n

Wir zeigen, dass es für n = 1 gilt:

Σ (k = 1 bis 1) (1/k!) ≤ 2 - 1/1

(1/1!) ≤ 2 - 1

1 ≤ 1

Das stimmt. Als nächstes zeigen wir das es für n + 1 gilt, wenn es für n gilt.

Σ (k = 1 bis n+1) (1/k!) ≤ 2 - 1/(n+1)

Σ (k = 1 bis n) (1/k!) + 1/(n+1)! ≤ 2 - 1/n + 1/n - 1/(n+1)

Σ (k = 1 bis n) (1/k!) ≤ 2 - 1/n stimmt nach Annahme

1/(n+1)! ≤ 1/n - 1/(n+1)

1/(n+1)! ≤ 1/(n·(n + 1))

1/((n - 1)!·n·(n + 1)) ≤ 1/(n·(n + 1))

1/(n - 1)! ≤ 1 auch das stimmt offensichtlich.