Anfangswertproblem bei Dgl: y'' - 2y' = 4x, Anfangswerte: y(0)=3 und y'(0)=-1.

Question

Ich möchte das Anfangswertproblem bei folgender DGL lösen:

y'' - 2y' = 4x

Anfangswerte: y(0)=3 und y'(0)=-1

Komme hierbei leider nicht klar. Muss ich wegen der höheren Ableitung vielleicht noch etwas beachten?

Answer 1

Nein, Du gehst vor wie auch sonst. Ich wähle dazu wieder die mir vorgezogene Methode.

y''-2y' = 4x

Homogene Lösung:

λ^2 - 2λ = 0

λ(λ-2) = 0

λ₁ = 0

λ₂ = 2

--> y = c*e^{0x} + d*e^{2x} = c + d*e^{2x}

Partikuläre Lösung (Rechte-Seite-Ansatz):

Wir haben Resonanz vorliegen und des Ansatz lautet deshalb:

y = (ax+b) * x = ax^2 + bx

y' = 2ax + b

y'' = 2a

Einsetzen:

2a - 2(2ax+b) = 4x

Koeffizientenvergleich:

2a - 2b = 0

-4a = 4

--> a = -1

b = -1

--> y = c + d*e^{2x} - x^2 - x

Nun die Anfangsbedingungen einsetzen:

y(0) = c + d = 3

y'(x) = 2d*e^{2x} - 2x - 1

y'(0) = 2d - 1 = -1

Aus  letzterem folgt d = 0 und aus ersterem dann c = 3

------> y = -x^2 - x + 3

Grüße

Comments

Habe es verstanden.