Diagonalisieren der Matrix M=((5,-6,-6)(-1,4,2)(3,-6,-4))

Question

Ich möchte folgende reelle Matrix diagonalisieren:

M=( 5 -6 -6

-1 4 2

3 -6 -4)

Wie muss ich hier vorgehen?

Comments

Bestimme alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren. Wenn du eine Basis aus Eigenvektoren findest, ist die Matrix diagonalisierbar. Dann schreibst du diese Vektoren Spaltenweise in eine Matrix T. Dann ist \(T^{-1}MT\) eine Diagonalmatrix.

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Jetzt weiß ich,was ich machen muss.

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                     (5-λ)    -6     -6


xA(λ) =          -1   ( 4 - λ)   2


                      3      - 6    (-4-λ )   ----->  λ₁ =4  , λ₂ = 5  ,  λ₃  = - 4   !

------>            λ₁       - 6       - 6

-1      λ₂         2

3        -6        λ₃              

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Was hat das mit der Aufgabe, oder auch nur Mathematik zu tun?

Die Eigenwerte sind 1 und 2.

Answer 1

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B5%2C-6%2C-6%7D%2C%7B-1%2C4%2C2%7D%2C%7B3%2C-6%2C-4%7D%7D

Also die Eigenwerte sind hier 1 und 2 ist das klar warum ?

Was sind die zugehörigen Eigenvektoren ?

Comments

Danke für deine Antwort!

Die Eigenwerte sind mir klar. Für die Eigenvektoren habe ich folgendes raus:

(3, -1, 3) für den Eigenwert 1

(2, 1, 0) und (2, 0, 1) für den doppelten Eigenwert 2.

Und jetzt soll ich das einfach Spaltenweise schreiben und dann habe ich mein Ergebnis?

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Aus den Eigenwerten e1, e2 und e3 bastelst du die Diagonalmatrix (D).

[e1, 0, 0]
[0, e2, 0]
[0, 0, e3]

Aus den Eigenvektoren bastelst du auch eine Matrix (T). Dabei steht der Eigenvektor zum Eigenwert e1 auch in der ersten Spalte.

[3, -1, 3]
[2, 1, 0]
[2, 0, 1]

Es ist hier also egal. Du könntest auch die 2. und 3 Spalte tauschen, weil es der gleiche Eigenwert ist. Zu der zweiten Matrix brauchst du aber noch die Inverse. Möchtest du die auch einmal ausrechnen?

Es sollte dann gelten

M = T^{-1} * D * T ist die Diagonalisierung unserer ursprünglichen Matrix.

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Das habe ich jetzt verstanden.

Ja, die Inverse Matrix möchte ich auch einmal berechnen. Dafür muss ich doch neben meine Matrix die Einheitsmatrix ( weiß gerade nicht ob die Bezeichnung stimmt) schreiben und dann meine Matrix in diese umformen und mit der anderen Matrix die gleichen Umformungen wie mit meiner Matrix machen und das gibt dann die inverse Matrix. Mit Einheitsmatrix meine ich folgendes:

(1 0 0

0 1 0

0 0 1)

Stimmt meine Vorgehensweise so?

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Ja das ist vollkommen richtig

[3, -1, 3, 1, 0, 0] 
[2, 1, 0, 0, 1, 0] 
[2, 0, 1, 0, 0, 1]

Und jetzt die Umformungen machen.

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Das wäre dann

(-1 -1 3

2 3 -6

2 2 -5)

Wenn ich mich nicht verrechnet habe.

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Ja das wär richtig. Aber nun haben wir beide einen Fehler gemacht. Die Eigenvektoren sollten ja senkrecht sein.

(3, -1, 3) für den Eigenwert 1. (2, 1, 0) und (2, 0, 1) für den doppelten Eigenwert 2.

Also das Ganze leider nochmals für folgende Matrix machen :(

[3, 2, 2]
[-1, 1, 0]
[3, 0, 1]

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Gut, dann werde ich das ganze wohl noch einmal machen. Aber jetzt weiß ich ja, wie es geht. Werde eventuell meine Ergebnisse dann Morgen zur Kontrolle hier reinstellen. Jetzt werde ich erst einmal schlafen.

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Oben in meiner Antwort steht ja der Link zu Wolframalpha mit den Lösungen. Damit kannst du auch vergleichen.

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Danke nochmals! Habe die Inverse eben ausgerechnet und sie stimmt auch.

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Weißt du eigentlich wofür man Matrizen diagonalisiert ?

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Ehrlich gesagt nein. Vielleicht kannst du es mir ja verraten.

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Wir wissen das wir eine Matrix M durch Diagonalisierung in der Form

M = T^-1 * D * T

schreiben können. 

Nun kann es ja z.B. mal passieren, dass wir M^5 berechnen sollen.

M^5 = (T^-1 * D * T)^5

M^5 = T^-1 * D * T * T^-1 * D * T * T^-1 * D * T * T^-1 * D * T * T^-1 * D * T

Nun ist aber T * T^{-1} = E bzw. die Einheitsmatrix und fällt damit weg

M^5 = T^-1 * D * D * D * D * D * T

M^5 = T^-1 * D^5 * T

Man kann also z.B. die Potenzen einer Matrix sehr viel leichter bestimmen, wenn man die Diagonalisierung kennt. Wie man die Potenz einer Diagonalmatrix bestimmt könntest du ja mal versuchen:

[a, 0, 0]
[0, b, 0]
[0, 0, c]

Multipliziere diese Matrix einfach öfter mit sich selbst und schau mal ob man das verallgemeinern kann.

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Na ja, wie man das mathematisch korrekt formuliert, weiß ich zwar gerade nicht, aber bei einer Diagonalmatrix ist ja das Gute, dass man nur die Einträge auf der Hauptdiagonalen mit sich selber multiplizieren muss, hier insgesamt 5 mal. Die anderen Einträge Fällen ja weg, weil sie Null sind. Hier also

(a^5 0 0

0 b^5 0

0 0 c^5)

Oder habe ich dich jetzt völlig falsch verstanden?

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Du hast das völlig richtig verstanden.

Also können wir so jede Matrix recht einfach potenzieren, wenn wir sie diagonalisieren können.

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Welche wichtigen Themen zu Matrizen sollte man eigentlich noch beherrschen?

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Du studierst ja und machst das nicht in der Schule oder?

Sehr wichtig in der Schule sind im Zusammenhang mit Matrizen das Lösen linearer Gleichungssysteme. Das werdet ihr sicher auch in der Uni gemacht haben.

Ich selber habe ja nur Wirtschaftsinformatik studiert und mir selber war die Mathematik im Studium immer viel zu trocken. Ich brauche zur Motivation immer Sachaufgaben, wo man das ganze dann auch anwendet.

Daher finde ich es eher interessant warum man eine Matrix diagonalisiert anstatt wie man es dann tut :)

Und diese Praxis kommt leider im Studium immer viel zu kurz :(

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Ja, ich studiere und schreibe bald die LA1 Prüfung. Deswegen meine vielen Fragen. Zu Wissen, warum man etwas macht, erleichtert natürlich viel, nur für die Prüfung brauche ich natürlich erst einmal das genaue Lösungsverfahren. Was würdest du mir denn für diese Prüfung noch zum Lernen empfehlen? Wie man Lineare Gleichungssysteme löst, weiß ich, nur manchmal brauche ich halt zu lange dafür.