Limes berechnen: x strebt gegen 0 für (x-sin(x))/(sin³(x))

Question

Limes berechnen: x strebt gegen 0 für

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{\sin ^{3} x} \)

Answer 1

lim x -> 0   ( x - sin x ) / ( sin x )^3
Zähler und Nenner gehen gegen 0. Ein Fall für l´Hospital
Nach 3 maligem Differenzieren ergibt sich
lim x -> 0  cos ( x ) / [ 6 * cos x  - ( cos x ) * ( sin x )^3 * 21  ]
lim x -> 0  cos ( x ) / [ 6 * cos x  ]
lim x -> 0   1 / 6

Answer 2

lim (x → 0) (x - SIN(x)) / SIN(x)^3

Ausdruck ist in der Form 0 / 0 --> L'Hospital

= lim (x → 0) (1 - COS(x)) / (3·SIN(x)^2·COS(x))

Ausdruck ist in der Form 0 / 0 --> L'Hospital

= lim (x → 0) (SIN(x)) / (9·SIN(x)·COS(x)^2 - 3·SIN(x))

= lim (x → 0) 1 / (9·COS(x)^2 - 3)

= 1/6