wie forme ich x^n=n^x in eine funktion x= um?

Question

Ich habe mich heute in der Schule beim betrachten von 2⁴ (was gleich 4² ist) gefragt, ob es noch mehr solcher Zahlenpaare gibt. Der taschenrechner verriet mir, dass jede natürliche zahl einen solchen Partner hat und jede gerade sogar einen zweiten. Meine frage: wie komme ich von xⁿ=n^x zu einer funktion (x=)

Answer 1

eigentlich miit hilfe des Log und hier im speziellen mit der Lambertfunktion,

nach wolfram alpha:

 

Comments

Ok, danke für das Ergebnis. Die Frage die sich mir dann jetzt nur trotzdem stellt ist wie komme ich da hin. Mithilfe meiner normalen Logarithmusgesetze kam ich da irgendwie nicht weiter.

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Wolframalpha bietet für angemeldete Leute eine Schritt-für-Schritt-Lösung.

Answer 2

Wie bei vielen Problemen hilft Wolframalpha hier sehr schnell weiter:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5En%3Dn%5Ex

Wobei hier W(x) die Lambertsche W-Funktion ist:

https://de.wikipedia.org/wiki/Lambertsche_W-Funktion

 

Answer 3

falls ein genauer Naeherungswert für x bei gegebenem n gesucht sein sollte, hilft das Newton-Verfahren:

f(x) = x^n -n^x = x^n - e^{x*ln n}

f ' (x) = n*x^{n -1} -(ln n)*e^{x*ln n} = n*x^{n -1} -(ln n)*(n^x)

Daraus ergibt sich die Iterationsformel:

                       x0^n - n^x0

x1 = x0 - ------------------------------------

                 n*x0^{n -1} -(ln n)*(n^x0)

 

ein guter Startwert für die Iteration bildet x0 = 2

also, z.B 3^x = x^3

                   x0^3 - 3^x0

x1 = 2 - ------------------------------------

                 3*x0^{n -1} -(ln 3)*(3^x0)

 

                      2^3 - 3^2

x1 = 2 - ------------------------------------

                 3*2^{3 -1} -(ln 3)*(3^2)

x1 = 2 +0.473375155 = 2.473375156

x2 = 2.473375156 - (-0.004655566t) = 2.478030722 und so fort

Sodann berechnet man x1 gemaess der Formel oben, dann x2 indem man die Formel erneut anwendet und dabei setzt: x0  = x1 (soeben berechnete Lösungsverbesserung) und x1 = x2 (neue Lösungsverbesserung).

Schon nach wenigen Iteratioinen ist die angestrebte Genauigkeit erreicht.

n = 3    x5 = 2.4780526803

fuer n = 20 und für n = 70 ergibt sich für die Potenz n^x eine ziemlich runde Zahl, so dass sich sehr gut der Ausdruck n^x

zwischen n = 4 (4^x = 16) und  n = 20 (20^x ~36)   sowie n = 20 und n = 70 (70^x ~ 93) interpolieren laesst

z.B fuer Interpolation zwischen n = 4 und und n = 20

      a +b*4 = 16

      a +b*20 ~ 36

->

      16a ~ 20*16 -4*36 -> a ~ 176/16 = 11

       16b ~36 -16    -> b ~ 5/4

kann man annaehern x^n ~ n*1.25 +11 -> x0 ~ (n*1.25 +11)^{1/n}

nimmt man diesen Interpolationswert als Startwert, so erhaelt man meistens nach 3 oder 4

Iterationen bereits Taschenrechner-Genauigkeit.